ECUACINES DE LA RECTA

UNIDAD N°2:

“FUNCIONEMOS LAS ECUACIONES”

1. Plantea las ecuaciones que conoces.

2. ¿ Cuántas soluciones puede tener una ecuación ?

3. ¿ Cuántas incógnitas puede tener una ecuación?

4. ¿ Qué importancia tienen las ecuaciones?

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA :

Uno de los genios más extraordinarios de la

historia de las Matemáticas fue el matemático

alemán Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855) .

En 1799, Gauss demostró el teorema

fundamental del álgebra, que dice que cada

ecuación algebraica tiene una raíz de la forma

a + bi, donde a y b son números reales, e i es

la raíz cuadrada de -1. Los números expresados

en la forma a + bi se llaman números complejos

y Gauss demostró que se podían representar

análogamente a los puntos de un plano.

En 1801 demostró el teorema fundamental de la

aritmética: “ todo número natural se puede

representar como el producto de primos de una

y solamente una forma”.

Así dejó fundamentada la Aritmética Superior.

Su obra principal fue “ Disquisitione Arithmeticae”

Trata de soñar y piensa cuántas ecuaciones existen, cuántas incógnitas pueden tener, qué es necesario conocer si existen ecuaciones con más de una incógnita.

Investiga en los textos sobre estos temas y verás cómo las matemática va creciendo y siempre existen formas de resolver problemas. Aunque se dice que hay más problemas sin resolver que problemas resueltos. Esto es verdad , es por eso que la Matemática sigue avanzando y siempre se van creando cosas nuevas y con aplicaciones nuevas.

Recordemos algunas cosas sobre las ecuaciones ya vistas…

Ecuación de la recta y otras funciones

Modelos de situaciones diarias

En esta unidad veremos cómo modelar información utilizando la línea recta.

Así, estudiaremos, en forma muy particular, los efectos del tabaco en la salud humana, el tipo de gráficas y fórmulas que emplearemos sirven para modelar otras situaciones, como los récords olímpicos o la velocidad de un móvil, cómo ahorrar energía, organizar un evento para recaudar dinero, etc.

Creemos que tú estás a tiempo de decidir si fumas o no, de esta forma te entregaremos información, para aquellos que no desean fumar tengan claro por qué no, y aquellos que deseen fumar, lo hagan en forma consciente y responsable.

Los efectos de fumar cigarrillo

En Chile, durante la última década , ha fallecido un promedio de mil personas anualmente a causa del tabaco, es una cantidad muy alta de muertes por un solo motivo y

es superior al total de los decesos debido al consumo de alcohol u otras drogas, a los homicidios, a los suicidios, accidentes de avión, envenenamientos, incendios y ahogados. Las causas más numerosas son las de cirugía para quitar órganos dañados: pulmones, laringes, riñones, paladares, estómagos, úteros, próstatas y páncreas.

Pero no sólo las personas que fuman se hacen daño, quienes viven con ellas sufren diversos síntomas como: toses, infecciones, problemas pulmonares y susceptibilidad al cáncer, por ésta razón se han dictado leyes que prohiben el consumo de tabaco en lugares públicos.

Actividad Investiga y responde:

- ¿Por qué , a pesar de la información que existe en la actualidad, siguen apareciendo nuevas personas fumadoras?. ¿Cuáles son las causas o motivos que las induce a fumar?

- ¿Por qué las personas adictas al cigarrillo tienen, por lo general, dificultas para dejar este hábito?. ¿Qué tratamiento existe para ayudarlas?, ¿en qué consisten?, ¿son efectivos?

- Busca información numérica sobre la edad promedio en que se empieza a fumar, Has una comparación entre fumadores hombres y fumadores mujeres, averigua cuáles son los lugares y momentos en que se fuma más.

- Haz un listado de “buena educación” para enfrentar la problemática que existe entre fumadores y no fumadores.

- ¿En qué forma el medio ambiente y la naturaleza es perjudicado por el cigarro?.

- Enumera los compuesto dañinos del cigarrillo y explica el tipo de daños que causan en el organismo.

- Menciona las enfermedades debidas, en gran parte, al consumo de cigarros. Explica alguna de ellas.

Evidencia numérica : Muertes por cáncer pulmonar

La información que se presenta en la siguiente tabla fue extraída del libro del Ministerio de Educación de segundo año medio de Gonzalo Riera Lira, y pretende mostrar la relación entre el número de cigarrillos consumidos y el número de muertes por cáncer al año por cada cien mil habitantes.

PROMEDIO DE CONSUMO DE CIGARROS AL AÑO

MUERTE AL AÑO POR CADA 100.000 HABITANTES

POR PERSONA CÁNCER DE PRÓSTATA CÁNCER DE PULMÓN CÁNCER DE RIÑÓN LEUCEMIA

1.600 3,10 15,60 1,77 6,08

1.820 2,95 17,25 1,80 6,10

2.000 3,02 14,12 3,32 7,00

2.100 3,45 17,44 2,65 7,20

2.150 3,90 23,15 2,32 6,72

2.200 4,00 15,40 3,25 7,95

2.250 4,05 17,83 3,10 7,20

2.330 3,30 16,10 3,14 7,54

2.370 4,55 20,75 3,12 6,92

2.500 5,27 21,23 2,85 6,76

2.580 4,10 21,22 3,17 6,81

2.600 4,60 23,40 2,85 6,95

2.650 4,58 22,00 3,02 7,10

2.750 4,04 21,00 2,55 6,82

2.800 4,01 24,75 2,56 5,94

2.860 5,20 24,00 3,36 7,11

2.900 5,50 24,34 2,98 6,75

3.030 3,46 25,88 4,32 4,90

3.200 5,12 23,84 3,35 6,82

4.100 6,25 25,12 3,05 6,80

Las conclusiones que podemos obtener de la tabla no son muy precisas, para obtener resultados más exactos y visibles te sugerimos que dibujes una gráfica de puntos que represente , por ejemplo, las muertes por cáncer pulmonar (eje vertical) v/s cigarrillos consumidos (eje horizontal).

Aun así la información es muy difusa y poco práctica, te sugerimos:

- Calcula el promedio de los datos en la horizontal, y a su vez el promedio de los datos en la vertical.

- Marca el punto promedio sobre tu gráfico, toma una regla y hazla girar sobre el punto promedio.

- Dibuja una recta que se ajuste mejor a los punto que marcaste en tu gráfico.

- Determina la razón de aumento de consumo de cigarrillos y aumento de muertes por cáncer al pulmón.

LA LINEA RECTA

Ejes de coordenadas

El sistema de ejes coordenados está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical llamadas ejes.

El eje horizontal (eje x) se denomina eje de las abscisas y el eje vertical (eje y) se denomina eje de las ordenadas.

Sobre el sistema de ejes coordenados es pueden ubicar todos los pares ordenados de la forma (a, b), como lo muestra la figura.

En el punto P(a, b) los elementos a y b se llaman coordenadas del punto P

Distancia entre dos puntos

Supongamos que P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 )

Son dos puntos del plano tal como se observa en la figura.

La distancia entre P1 y P2 se puede determinar, por ejemplo, mediante el teorema de Pitágoras, de la siguiente manera:

Así la distancia de P1 a P2 es:

Ejemplo: La distancia entre los puntos A(-4, 7) y B(3, -5) es:

Representación gráfica de la línea recta

En toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c  R, representa una ecuación lineal con dos incógnitas, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano.

Ejemplo: la ecuación L: x + y = 4

Tabla de valores Gráfico

x y (x, y)

2 2 (2, 2)

1 3 (1, 3)

0 4 (0, 4)

-1 5 (-1, 5)

Observaciones:

- A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una recta.

- Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación .

- Los puntos que cada par ordenado representa pertenecen a la recta correspondiente.

PENDIENTE DE UN RECTA

Se denomina pendiente “m” de una recta al grado de inclinación “” que tiene respecto del eje de las abscisas (eje x)

ejercicios

Supongamos que se tienen 4 rectas L1 , L2 , L3 y L4 de modo que :

L1 pasa por los puntos: A(1, 2) y B(2, 1)

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