Estadistica

Cada prueba puede dar dos resultados mutuamente excluyentes : A y no A

• La probabilidad de obtener un resultado A en cada prueba es p y la de obtener un resultado no A es q

siendo (p + q = 1).

Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas ,por tanto , las pruebas ,son independientes (si se trata de un proceso de "extracción" éste se llevará a , cabo con devolución del individuo extraído) .

• (Derivación de la distribución). Si en estas circunstancias aleatorizamos de forma que tomemos como variable aleatoria X = el número de pruebas necesarias para obtener por primera vez un éxito o resultado A , esta variable se distribuirá con una distribución geométrica de parámetro p.

Obtención de la función de cuantía

De lo dicho anteriormente , tendremos que la variable X es el número de pruebas necesarias para la consecución del primer éxito. De esta forma la variables aleatoria toma valores enteros a partir del uno ;  1,2,………

La función de cuantía P(x) hará corresponder a cada valor de X la probabilidad de obtener el primer éxito precisamente en la X-sima prueba. Esto es , P(X) será la probabilidad del suceso obtener X-1 resultados "no A" y un éxito o resultado A en la prueba número X teniendo en cuenta que todas las pruebas son independientes y que conocemos sus probabilidades tendremos:

dado que se trata de sucesos independientes y conocemos las probabilidades

luego la función de cuantía quedaría

Algunos autores consideran la aleatorización como "número de pruebas anteriores al primer éxito". De esta manera el conseguir el éxito a la primera sería X=0 . En la siguiente representación gráfica de la función de cuantía de la geométrica puede apreciarse este tipo de aleatorización , sin embargo nosotros preferimos , por razones prácticas, utilizar la aleatorización antes comentada

Función de distribución

En base a la función de cuantía se puede expresar la función de distribución de la siguiente manera.

desarrollando la expresión tendríamos

de donde

La Función Generatriz de Momentos (F.G.M.) quedaría:

por lo que queda establecida que la F.G.M. tiene la expresión

En base a la FGM podemos obtener la media y varianza:

Así

...