Estadistica

Cada prueba puede dar dos resultados mutuamente excluyentes : A y no A

• La probabilidad de obtener un resultado A en cada prueba es p y la de obtener un resultado no A es q

siendo (p + q = 1).

Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas ,por tanto , las pruebas ,son independientes (si se trata de un proceso de "extracción" éste se llevará a , cabo con devolución del individuo extraído) .

• (Derivación de la distribución). Si en estas circunstancias aleatorizamos de forma que tomemos como variable aleatoria X = el número de pruebas necesarias para obtener por primera vez un éxito o resultado A , esta variable se distribuirá con una distribución geométrica de parámetro p.

Obtención de la función de cuantía

De lo dicho anteriormente , tendremos que la variable X es el número de pruebas necesarias para la consecución del primer éxito. De esta forma la variables aleatoria toma valores enteros a partir del uno ;  1,2,………

La función de cuantía P(x) hará corresponder a cada valor de X la probabilidad de obtener el primer éxito precisamente en la X-sima prueba. Esto es , P(X) será la probabilidad del suceso obtener X-1 resultados "no A" y un éxito o resultado A en la prueba número X teniendo en cuenta que todas las pruebas son independientes y que conocemos sus probabilidades tendremos:

dado que se trata de sucesos independientes y conocemos las probabilidades

luego la función de cuantía quedaría

Algunos autores consideran la aleatorización como "número de pruebas anteriores al primer éxito". De esta manera el conseguir el éxito a la primera sería X=0 . En la siguiente representación gráfica de la función de cuantía de la geométrica puede apreciarse este tipo de aleatorización , sin embargo nosotros preferimos , por razones prácticas, utilizar la aleatorización antes comentada

Función de distribución

En base a la función de cuantía se puede expresar la función de distribución de la siguiente manera.

desarrollando la expresión tendríamos

de donde

La Función Generatriz de Momentos (F.G.M.) quedaría:

por lo que queda establecida que la F.G.M. tiene la expresión

En base a la FGM podemos obtener la media y varianza:

Así

Haciendo t =0 tendríamos que

La varianza sería

Haciendo t =0 tendríamos que

De esta manera

Luego

La moda es el valor de la variable que tiene asociada mayor probabilidad el valor de su función de cuantía es el mayor. Es fácil comprobar (véase simplemente la representación gráfica anterior) que .Por lo tanto la media de la distribución geométrica es siempre 1.

En cuanto a la mediana Me será aquel valor de la variable en el cual la función de distribución toma el valor 0,5. Así

por lo que

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