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andres880911Informe15 de Septiembre de 2015
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SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES
Hugo Eduardo Ramirez
[pic 2]
SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES SISTEMAS DE ECUACIONES
Sección 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
Empezaremos recordando que en el plano cartesiano una ecuación lineal es una ecuación de la forma
a
1
x + a
2
y = c (1)
y hace referencia a la gráfica de una función que es una l ́ınea recta, La cual también puede ser vista de la forma
y = -
a a
1
2
x +
a c
2
, S ́ı a
2
= 0
La recta con pendiente
(
m = -
a
1
)
a
2
y con corte b =
a c
2
.
y
y = mx + b
x
En un marco más amplio una ecuación lineal puede tener más de dos incógnitas y en este caso se ver ́ıa as ́ı:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ ··· + a
n
x
n
= b (2)
Esta es una ecuación lineal, en la cual se identifican n 1 letras a
1
,a
2
,...,a
n
que representan los coeficientes de las n incógnitas x
1
,x
2
,...,x
n
cuya suma da como resultado b. Un sistema lineal es un conjunto de una o más ecuaciones lineales; un sistema lineal de n ecuaciones con m incógnitas se ver ́ıa en una forma genérica as ́ı:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ a
13
x
3
+ ··· + a
1m
x
m
= b
1
(3) a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ a
23
x
3
+ ··· + a
2m
x
m
= b
2 a
31
x
1
+ a
32
x
2
+ a
33
x
3
+ ··· + a
3m
x
m
= b
3 . . . =
. . . a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ a
n3
x
3
+ ··· + a
nm
x
m
= b
n
Donde a
ij
determina el coeficiente de la i-esima ecuación y j-esima incógnita. Note en el sistema de arriba que no necesariamente el número n coincide con el número m, es decir, que el número de incógnitas no necesariamente coincide con el número de ecuaciones. Se llama una solución del sistema a un conjunto de números que son asignados a cada una de las incógnitas y que reducen cada una de las ecuaciones a una igualdad numérica.
Ejemplo. El sistema lineal de dos ecuaciones con tres incógnitas que se presenta a continuación
3x
1
+ 2x
2
- x
3
= 3 x
1
- x
2
+ 3x
3
= 1
1n representa un número arbitrario pero fijo de R
1
[pic 3]
SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES SISTEMAS DE ECUACIONES
Tiene como solución la tripla de números (0,2,1) donde el significado es que x
1
= 0, x
2
=2y x
3
= 1, y verificamos que es una solución de la siguiente manera, reemplazando el valor de cada una de las incógnitas.
3 · 0+2 · 2 - 1=0+4 - 1 = 3 0 - 2+3 · 1=0 - 2+3 = 1
Pero para este sistema esa no es la única solución; el estudiante puede verificar que (1,0,0) es también una solución.
Para encontrar soluciones a los sistemas lineales, vamos a resaltar los detalles en el siguiente ejemplo de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
3x - 2y - z = -1 (1) 2x + 2y - 2z = 0 (2) x - y + 2z = 4 (3)
La metodolog ́ıa usada se llama eliminación y se trata, Empezaremos eliminando la incógnita x de la ecuación ecuaciones y guardar el resultado en la ecuación (2). como su (2); para As ́ı:
nombre lo esto podemos indica, de multiplicar eliminar la ecuación incógnitas (1) de por las -
ecuaciones.
2 3
, sumar las
- 2 3
× 3x - 2y - z = -1 ≡ -2x +
4 3
y +
2 3
z =
2 3 haciendo la suma
-2x +
4 3
2 3
2
+
3
2x + 2y - 2z = 0
0 +
y +
z =
10 3
4 3
2 3 y as ́ı el sistema queda
3x - 2y - z = -1 (1)
10 3
y -
z =
y -
4 3
z =
2 3
(2)
x - y + 2z = 4 (3)
Ahora eliminamos la incógnita x de la ecuación (3); para esto podemos ecuaciones y guardar el resultado en la ecuación (3). As ́ı:
multiplicar la ecuación (1) por -
1 3
, sumar las
3x - 2y - z = -1 (1)
10 3
y -
4 3
z =
2 3
(2)
-
1 3
y +
7 3
z =
13 3
(3)
Notamos que la nueva ecuación (3) no tiene ninguna x puesto que la eliminamos, y (3) podemos eliminar la y de la ecuación (3), para esto multiplicamos por resultado en la ecuación (3) obtenemos:
1 10
por lo que ahora entre las ecuaciones (2) la ecuación (2), sumamos y guardando el
3x - 2y - z = -1 (1)
10 3
y -
4 3
z =
2 3
(2)
66 30
z =
132 30
(3)
2
[pic 4]
SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES SISTEMAS DE ECUACIONES
La última ecuación se soluciona despejando z de la ecuación (3), obtenemos z = 2. Ahora reemplazamos el valor de z en la ecuación (2) para despejar y, obtenemos y = 1. Y reemplazamos los valores de y y z en la ecuación (1) para finalmente despejar x, obteniendo x = 1. As ́ı la solución de este sistema es (1,1,2), pero según lo visto en el ejemplo pasado un sistema puede tener más soluciones ¿Será que este sistema tiene más soluciones? y en general ¿podr ́ıa pasar que un sistema no tenga solución? Estas preguntas se solucionarán a continuación, pero para poder explicar esto, debemos adquirir los siguientes conceptos.
Definición. Una matriz es un arreglo bidimensional de objetos, en nuestro caso las dimensiones de la matriz son filas y columnas, y los objetos números. La dimensión de una matriz de n filas con m columnas es n × m.
A cada sistema de ecuaciones se le puede asignar una matriz que, si incluye los resultados, se llama aumentada. La matriz asociada a un sistema de ecuaciones es la matriz que tiene los coeficientes de las variables donde cada renglón de la matriz representa una ecuación y cada columna una incógnita. As ́ı el sistema (3) tiene representación matricial:
Veamos cómo se usan las matrices para solucionar los sistemas, para esto vamos a poner unas reglas básicas a seguir y estas son las operaciones de renglón:
1. R
i
a
11
a
12
a
13
··· a
1m
| b
1 a
21
a
22
a
23
··· a
2m
| b
2 a
31
a
32 . . .
a
33
··· a
3m . . . | |
b
3 . . . a
n1
a
n2
a
n3
··· a
nm
| b
n
→ kR
i
significa que el renglón i se multiplica por la constante k = 0
2. R
i
↔ R
j
Intercambiar los renglones i y j
3. R
i
→ R
i
+ kR
j
Sumar un múltiplo del renglón j al renglón i y guardar el resultado en el renglón i
Podemos ver que estas operaciones tienen similitud a las que usamos al resolver el anterior sistema por eliminación; estas operaciones son las únicas que pueden efectuarse en el proceso de solución de un sistema en forma matricial.
...