Estadistica

Use sus conocimientos para completar las siguientes frases.

a) Si calculo la media de los valores absolutos de las desviaciones de las

observaciones respecto a la media de ellas, obtenga el valor de .

b) Si calculo la media del cuadrado de las desviaciones de las observaciones

respecto a la media aritmética de ellas, obtengo el valor de .

c) Si debo comparar el grado de variabilidad de dos series de o0bservaciones,

debo utilizar dispersiones que se obtienen

dividiendo la por la .

d) Si mido la estatura y el peso de una serie de alumnos, para determinar cual

de las dos series de valores tiene mayor grado de variaciones debo utilizar

medidas de .

e) Una variable normalizada o o simplemente

calificación indicada a cuantas unidades de

desviación estándar esta una puntuación .

f) Si X = 21 y s = 3, la puntuación X = 18 esta .

g) José obtuvo calificación Z = -0,82 y Luis –0,78, entonces el resultado

obtenido por es mejor que el obtenido por .

Peso (gramos) fi

15 – 20 7

20 – 25 25

25 – 30 31

30 – 35 20

35 – 40 11

7. Un postulante presento examen de admisión a dos universidades; en la

universidad A obtuvo 325 puntos y en ella la calificación media fue de 305

puntos con desviación estándar de 26. En la universidad B obtuvo 210 puntos y

en ella la calificación media fue de 195 puntos con desviación estándar de 18.

Halle en que examen fue mejor el resultado.

8. En una prueba deportiva la media para varones es 140 puntos con una

desviación estándar 24; para mujeres la media es 162 con una desviación 22.

Ana y su hermano Juan participaron en el evento; Juan obtuvo 151 puntos y

Ana 171. Hallar:

a) Quien tuvo el mejor resultado.

b) El rango percentil de Juan y el rango de Ana.

Sesión 6

Tema: Combinatoria.

I. Objetivos de la sesión: aprender técnicas de conteo para ser

aplicadas en el cálculo de las probabilidades.

II. Tema:

En muchos problemas de probabilidades debemos citar todas las alternativas

posibles en una situación dada o por lo menos determinar cuántas posibilidades

diferentes existen.

La combinatoria proporciona los procedimientos y formulas necesarias para

contar las posibilidades que hay de elegir un conjunto de elementos con

determinadas características.

1. Regla de la multiplicación.

Si una operación consta de 2 pasos, de los cuales el primero puede

efectuarse de n1 formas y para cada una de éstas el segundo puede realizarse de

n2 formas, entonces toda la operación se lleva a cabo de n1· n2 maneras.

Ej.: Supóngase que alguien desea viajar en 3 tipos de vehículos diferentes para un

periodo de vacaciones, a una de 5 ciudades de la costa. Determine el nº de

formas diferentes en que se logra esto.

Solución. - el vehículo en que se viajará se puede escoger de 3 formas diferentes

n1 = 3.

- las ciudades a visitar, se pueden escoger de 5 maneras diferentes

n2 = 5.

Entonces, el total de combinatoria posibles es n1 · n2 = 3 · 5 = 15 maneras

diferentes de visitar una ciudad en un tipo de vehículo.

Ej.: ¿Cuántos almuerzos diferentes se pueden formar si se componen de: sopa,

plato de fondo, postre y bebidas, pudiendo elegir entre 4 tipos de sopas, 3 clases

de plato de fondo, 5 tipos de postres y 4 tipos de bebidas diferentes?.

Solución.

El nº de combinatorias posibles de elegir un almuerzo es:

4 · 3 · 5 · 4 = 240 formas diferentes.

2. Permutaciones sin elementos repetidos.

Al tomar todos los elementos de un conjunto finito y ordenarlos de todas las

maneras posibles, tendremos una permutación. Es decir, con “n” elementos, se

ordenan de todas las maneras, sin dejar ninguno fuera de la ordenación. Ej. Si se

tiene las letras a, b y c, sus ordenaciones son:

abc, acb, bac, bca, cab, cba.

En total, 6 maneras de ordenar las 3 letras.

2.1 Para calcular sus valores, se efectúa el siguiente cálculo cuando la ordenación

en forma lineal.

Pn = n! donde n! = 1 · 2 · 3 · ... · n

Ej.: ordenar 7 personas en una fila.

P7 = 7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 ·7 = 5040 maneras.

2.2 Si la ordenación de los n elementos en forma circular, su cálculo cambia a:

Pn = (n - 1)! donde (n – 1)! = 1 · 2 · 3 · ... · (n – 1)

Ej.: ¿de cuantas maneras distintas se pueden sentar 7 personas en una mesa

redonda?.

(7 – 1)! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720 maneras

3. Permutaciones con elementos repetidas.

En variadas situaciones se deben ordenar n elementos dentro de los cuales

hay algunos repetidos. Si se supone que de n elementos, hay p elementos iguales

entre si, q elementos iguales entre si y r elementos iguales entre si. La forma de

ordenar estos n elementos es:

! ! !

!

( , , ) p q r

P n n p q r =

Ej.: ordenar en fila 7 fichas, de las cuales hay 2 fichas rojas, 4 azules y 1 amarilla.

Solución. Como deben ordenarse las 7 fichas, se concluye que es una

permutación, pero con elementos repetidos.

105

(2)(24)(1)

5040

2!4!1!

7!

7(2,4,1) P = = = maneras

4. Variaciones sin elementos repetidos.

Se dispone de un elemento, pero se escogen k (algunos) de ellos.

Se llama variación de orden k, a cada grupo que se pone de k elementos

escogidos de un total, se tienen algún elemento distinto o al orden en que están

ubicados es diferente.

Su cálculo es:

( )!

!

n k

V n n

k −

= con n ≥ k

Ej.: Se toman 4 nombres de los 24 miembros de un club para ocupar los cargos de

presidente, vicepresidente, tesorero y secretario. ¿En cuántas formas diferentes

puede hacerse?.

Solución. Del total de 24 personas, se escogen grupos de 4, donde el orden en

que ocupen un cargo es importante en cada grupo.

...