Factorización

FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta. Expresar un polinomio dado como el producto de otros polinomios, es decir, encontrar los factores de un polinomio se llama factorización. Se restringirá el análisis a la factorización de polinomios en una variable en productos de polinomios en una variable, donde todos los coeficientes son enteros. Esto recibe el nombre de factorización sobre enteros. La factorización (o factoreo) es la descomposición de una expresión matemática en forma de multiplicación.

La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado. Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

Para factorizar un binomio, se debe hallar un factor que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común. El máximo factor común (mcf) de una expresión es el producto de los factores que aparecen en cada término, cada uno elevado al exponente mas pequeño diferente de cero que aparezca en cualquier término.

Fórmulas de Factorización

Son casos frecuentes de multiplicación de polinomios, se usan para descomposición de los polinomios a multiplicadores, la simplificación de fórmulas, la simplificación de polinomios.

Fórmulas de cuadrados

Diferencia de cuadrados: x² - a² = (x + a)(x - a)

Cuadrados perfectos: x² + 2ax + a² = (x + a)²

x² - 2ax + a² = (x – a)²

Suma de dos Cubos: x³ + a³ = (x + a)(x² - ax + a²)

Diferencia de dos Cubos: x³ - a³ = (x - a)(x² + ax + a²)

Cubos Perfectos: x³ + 3ax² + 3a²x + a³ = (x + a)³

x³ - 3ax² + 3a²x - a³ = (x – a)³

Factorización de diferencia de cuadrados

EJEMPLOS:

Factorizar completamente: x² - 4

Solución Se puede observar que x² - 4 es la diferencia de x² y 2². Entonces la respuesta quedaría como:

x² - 4 = (x – 2)(x + 2)

Factorizar completamente: 4x² - 25

Solución Se logra observar que 4x² - 25 es la diferencia de 2x² y 5². Entonces la respuesta seria:

4x² - 25 = (2x)² - (5)² = (2x – 5)(2x + 5)

Factorizar completamente: 36x² - 9

Solución Se puede observar que 36x² - 9 es la diferencia de 6x² y 3². Entonces

36x² - 9 = (6x)² - (3)² = (6x – 3)(6x + 3)

Factorización de un cuadrado perfecto

EJEMPLOS:

Factorizar completamente: x² + 6x + 9

Solución El primer término, x², y el tercer término, 9 = 3², son cuadrados perfectos. Como el término medio 6x es el doble del producto de x y 3, se tiene un cuadrado perfecto.

x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Factorizar completamente: 9x² - 6x + 1

Solución El primer termino 9x² = (3x)², y el tercer término, 1 = 1², son cuadrados perfectos. Como el término medio -6x es -2 por el producto de 3x y 1, se tiene un cuadrado perfecto.

9x² - 6x + 1 = (3x – 1)²

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