FACTORIZACION

EJEMPLO 3.2. Uso de la factorización LU para calcular el determinante de una matriz 4x4

2 3 2 4

4 10 -4 0

-3 -2 -5 -2

-2 4 4 -7

Calcule det A, donde A=

SOLUCION:

Del ejemplo 2.7.1 en la página 147, A=LU, donde

2 3 2 4

0 4 -8 -8

0 0 3 9

0 0 0 -49

U=

Por lo que det A= det U=(2)(4)(3)(-49)=-1 146.

Si A no se puede reducir a la forma triangular sin hacer permutaciones, por el teorema 273 en la página 151, existe una matriz permutación P tal que

PA=LU

Es sencillo probar que si Pes una matriz permutación, entonces det P =±1 (vea el problema 53 der esta sección). Entonces

det PA= det LU

det P det A= det L det U= det U

±det A= det U

det A=±det U

si PA=LU, donde P es una matriz permutación y L y U son como antes, entonces

det A=det⁡U/det⁡P = ±detU

Ejemplo 3.2.3. Uso de la factorización PA=LU para calcular el determinante 3x3

0 2 3

2 -4 7

1 -2 5

Encuentre det A, donde A=

SOLUCION

Del ejemplo 2.7.3 en la página 151, se encontró que PA=LU, donde

0 0 1

1 0 0

0 1 0

P=

1 -2 5

0 2 3

0 0 -3

y U=

Ahora bien, det P=1 y det U=(1)(2)(-3), de maneras que det A= (-6)/1=-6.

Se establecerá un paso importante teorema sobre determinantes.

TEOREMA 3.2.4 det AT=det A

Demostración

Suponga que A=LU. Entonces A^T=(LU)^T=U^T L^T por el teorema 2.5.1

ii) en la pagina 128. Se calcula

det A=det L det U= det U

det A^T= det〖 U〗^Tdet〖 L〗^T=det〖 U〗^T=det⁡ U= det⁡〖A 〗

El último paso se basa en la transpuesta de una matriz triangular superior es triangular inferior y viceversa, y en hecho de que obtener la transpuesta no cambia las componentes de la diagonal de una matriz.

Si A no se puede escribir como LU, entonces existe una matriz permutación P tal que PA=LU. Por lo que se acaba de probar,

det PA= det 〖(PA)〗^T=det 〖(A〗^T P^T)

y por el teorema 3.2.1,

det P detA= det 〖PA〗^=det 〖(A〗^T P^T)= detAT det PT

No es complicado probar (vea el problema 54 de esta sección) que si P es una matriz permutación, entonces det P= det PT. Como, det P det PT =±1 se concluye que det A= det AT

Ejemplo 3.2.14. Utilice las propiedades de los determinantes para calcular un determinante 4x4

1 3 5 2

0 -1 3 4

2 1 9 6

3 2 4 8

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