Formulario Cálculo Diferencial e Integral

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Tema

Definición

4.5

Derivación de principales funciones

Teorema 4.19 Derivada de la función logaritmo natural.

[pic 3]

Teorema4.23 Derivada de la función logaritmo base a.

[pic 4]

Derivada de las funciones trigonométricas circulares

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

Teorema4.28 Derivada de funciones trigonométricas inversas

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

Teoremas4.29 Derivadas de las funciones hiperbólicas

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

4.6

Derivación implícita

Estrategias para la derivación implícita.

1. Derivar con respecto a x ambos lados de la ecuación.

1. Agrupar todo termino de y’ en el lado izquierdo de la ecuación.

1. Factorizar y’.

1. Despejar y’.

5

Teorema de valor medio

5.1

Teorema de Rolle

Teorema5.3 Teorema de Rolle

Si f es contínua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b) si entonces si existe al menos un número en c en (a,b) tal que [pic 20][pic 21]

Teorema5.4 Teorema del valor medio

Si f es contínua en el intervalo [a,b] y derivable en el intervalo (a,b) entonces existe un c en (a,b) tal que

[pic 22]

5.2 y 5.3

Definición e interpretación de las derivadas de orden superior.

Criterios de la primera y la segunda derivada para determinar puntos críticos, máximos, mínimos y de inflexión

Una función f es creciente sobre un intervalo si para cualesquiera 2 números x’ y x’’ en el intervalo, x’.[pic 23]

Una función f es decreciente sobre un intervalo si para cualesquiera 2 números x’ y x’’ en el intervalo, x’.[pic 24]

Teorema 5.5

Sea f una función que es contínua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo (a,b).

1. Si  para todo x en (a,b) f es creciente en [a,b].[pic 25]
2. Si  para todo x en (a,b) f es decreciente en [a,b].[pic 26]
3. Si f’ para todo x en (a,b) f es constante en [a,b].[pic 27]

Teorema 5.6 Criterio de la primera derivada

Sea c un punto crítico de la función f que es contínua en un intervalo, abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue:

1. Si  cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en [pic 28][pic 29]

1. Si  cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en [pic 30][pic 31]

1. Si  es positiva en ambos lados de c o negativo en ambos lados de c, entonces  no es ni un mínimo o máximo relativo.[pic 32][pic 33]

Definición de Concavidad

Sea f derivable en un intervalo abierto I. La gráfica f es cóncava hacia arriba sobre I si f’ es creciente en el intervalo y convoca hacia abajo en I si f’ es decreciente en el intervalo.

Teorema 5.7 Criterio de Concavidad

Si f es una función cuya segunda derivada existe en u intervalo abierto I.

1. Si f’’(x)>0 para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I.
2. Si f’’(x)<0 para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I.

Puntos de Inflexión

Sea f una función que es contínua en un intervalo abierto y sea c un punto en ese intervalo. Si la gráfica de f tiene una recta tangente en ese punto entonces ese punto es un punto de inflexión de la gráfica f si la concavidad de f cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, la de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba en ese punto.[pic 34]

Teorema 5.8

Si  es un punto de inflexión de la gráfica f, entonces f’’(c)=0 o f’’(c) no existe en x=c.[pic 35]

5.4 y

5.6

Solución de problemas, diferencial y sus aplicaciones

1. Problemas de razón de cambio, ritmo, velocidad de cambio.

1. Problemas de optimización (máximos y mínimos)

6.1 y

6.2

Concepto de sucesión y de serie de números reales.

Criterios de convergencia de una sucesión y una serie

Teorema 6.2 Propiedades de los límites de sucesiones.

 y [pic 36][pic 37]

1. [pic 38]
2. , c es cualquier número real.[pic 39]
3. [pic 40]
4. [pic 41]

Series Infinitas {An} es una sucesión infinita

[pic 42]

Dada una serie infinita, la enésima suma parcial dada por [pic 43]

[pic 44]

Si la sucesión de sumas parciales {Sn} converge a 3 entonces la serie converge.

El límite S se llama suma de la serie si {Sn} diverge, entonces la serie diverge.

Teorema 6.6 Convergencia de una serie geométrica

Una serie geométrica de razón r

6.3

Aproximación de funciones por series de potencias. Series de Taylor y de MacLaurin.

 Los gráficos de f y p pasan por .[pic 63][pic 64]

La aproximación polinómica se expande alrededor de c o esta centrada en c.

 Las gráficas de f y p tienen la misma pendiente en .[pic 65][pic 66]

6.5

Aproximación de funciones por series de potencias

Si una función f tiene derivadas de todos los órdenes en  entonces la serie.[pic 67]

[pic 68]

Se llama serie de Taylor para f(x) en c. Además, si  entonces la serie es serie de MacLaurin para f.[pic 69]

[pic 70]

7 y 8

7.1 Concepto de Sumas de Riemann e integral definida, condiciones y propiedades de integrabilidad.

7.2 Teorema del valor medio del cálculo integral

7.3 Integrales impropias

7.4 Concepto y propiedades de la integral indefinida

7.5 Cálculo de integrales indefinidas inmediatas

7.6 Teorema fundamental del cálculo

Se dice que una función f es una anti derivada o primitiva de f en u intervalo I.

                            [pic 71]

La función F(x) es una anti derivada de f.

Teorema 2.2

Sea g una función cuyo recorrido rango es un intervalo I, y sea f una función contínua en I. Si g es derivable en su dominio y F es una anti derivada o primitiva de f en I, entonces:

[pic 72]

Si u=g(x), entonces  y [pic 73][pic 74]

Cambio de Variable

[pic 75]

Teorema 2.3 La regla general de las potencias para integrales

Si g es una función derivable de x, entonces.

[pic 76]

Teorema 3.1    Fórmulas

i: índice de la suma

ai: iésimo término de la suma

n: límite superior

l: límite inferior

1. [pic 77]

1. [pic 78]

1. [pic 79]

1. [pic 80]

SUMAS DE RIEMANN

• No es necesario tener subintervalos del mismo ancho

Sea f definida en el intervalo cerrado [a,b] y sea  una partición de [a,b] dada por[pic 81]

[pic 82]

Donde  es el ancho de i-ésimo intervalo, si Ci es cualquier punto en el i-ésimo intervalo entonces la suma.[pic 83]

[pic 84]

Se denomina suma de Riemann de f para la partición .[pic 85]

Integral definida

Si f se define en el intervalo cerrado [a,b] y el límite

[pic 86]

Existe, entonces f es integrable en [a,b] y el límite se denota por:

[pic 87]

El límite recibe el nombre de integral definida de f de a a b.

El número a es el límite inferior de la integración.

Teorema 3.4 La integral definida como área de una región

Si f es contínua y no negativa en el intervalo cerrado[a,b] entonces el área de la región acotada por la gráfica f, del eje y las rectas verticales x=a y x=b esta dada por:

[pic 88]

Teorema 3.8 El teorema fundamental del cálculo

Si una función f es contínua en el intervalo cerrado [a,b] y F es una antiderivada de f en el intervalo [a,b] entonces.

[pic 89]

Aplicaciones de la Integral

9.1

Cálculo de Áreas

Área de una región entre dos curvas

[pic 90]

9.2

Volúmenes de Revolución

Método de los discos:[pic 91]

[pic 92][pic 93]

Eje de Revolución Horizontal[pic 94]

                                     [pic 96][pic 95]

Eje de revolución Vertical[pic 97][pic 98][pic 99][pic 100][pic 101]

[pic 102]

                                      [pic 104][pic 103]

<[pic 105]

[pic 106]

[pic 107]

9.3

Centro de Masa

Centro de masa de una lamina plana.

[pic 108][pic 109]

[pic 110]

[pic 111][pic 112]

[pic 113]

[pic 114]

[pic 115]

1.- Los momentos respecto al eje x y y son:

[pic 116]

[pic 117]

2.- El centro de masa (x,y)esta dado por , donde[pic 118]

[pic 119]