GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental de la Fuerza Armada Nacional

Núcleo Miranda - ext. Santa Teresa del Tuy

1er Semestre de Ingeniería en Sistemas Sección 1 Nocturno

Geometría Analítica

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

FACILITADOR: UNIVERSITARIA:

ALVAREZ Romualdo NARVAEZ, Joangris C.I. 20.346.709

Santa Teresa del Tuy, 25 de Junio de 2014

-.GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO.-

Es la rama de la geometría que se encarga del estudio de las figuras geométricas voluminosas que ocupan un lugar en el espacio; estudia las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeo. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera, entre otros.

El punto en el espacio:

Consideremos tres rectas “x”, “y”, “z”, que son mutuamente perpendiculares y se intersecan en un mismo punto “O“. Éste punto se denominará origen de coordenadas y divide a cada eje en dos semiejes (positivo y negativo). Para cada punto “M” del espacio podemos encontrar las correspondientes coordenadas “P“, “Q“, “R“, de la siguiente forma. El punto “P” es la intersección del eje “OX” con un eje paralelo al plano “y z” que pasa por “M“. De modo análogo se obtienen los puntos “Q” y “R” como resultado de la proyección del punto “M” en sus respectivos ejes coordenados.

La longitud de los segmentos es:

OP = x.

OQ = y.

OR = z. de modo que a cada punto del espacio le asignaremos la terna ordenada de números (x, y, z).

Denotaremos por “i“, “j“, “k“, a los vectores unitarios coordenados cuya dirección y sentido es el positivo de estos ejes. Dado un punto arbitrario “M“, se cumple que su vector de posición satisface:

OM = OP + OQ + OR.

Distancia entre Dos Puntos:

Sean los puntos “M1” y “M2“, y sean sus coordenadas respectivas (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2). Denominaremos distancia entre los puntos “M1” y “M2” a la longitud del segmento que los une: d (M1, M2) = [(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (z1 - z2)^2]^1/2. Este resultado se obtiene aplicando reiteradamente el Teorema de Pitágoras. A esta distancia se le denomina distancia mínima elucídela entre los puntos “M1” y “M2“.

Sistema de Coordenadas.

Es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto o de otro objeto geométrico. El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo “la coordenada-x”. El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica"

Sistema de Coordenadas Cartesianas

En un espacio elucídelo, un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto ( ) sobre un eje determinado:

Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y un versor ( ) tal que:

, cuyo módulo es .

El valor de la coordenada x de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto sobre el eje x.

Sistema de Coordenadas Polares.

El sistema de coordenadas polares es

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