GEOMETRÍA ANALÍTICA LA HIPÉRBOLA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

LA HIPÉRBOLA

CONTENIDO

[pic 1]

1. Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen

1.1  Análisis de la ecuación

1. Asíntotas de la hipérbola

Ejemplo 1

1. Ecuación de la hipérbola vertical con centro en el origen

Ejemplo 2

1. Hipérbolas conjugadas equiláteras o rectangulares con centro en el origen

Ejemplo 3

1. Ecuación de la hipérbola horizontal con centro fuera del origen

1. Ecuación de la hipérbola vertical con centro fuera del origen

1. Forma general de la ecuación de la hipérbola horizontal y vertical con centro fuera del origen
2. Ecuaciones de la hipérbola equilátera referida a sus propias asíntotas

1. Posición general de la hipérbola y su ecuación

1. Ejercicios

Una hipérbola es la curva que se obtiene intersectando un cono y un plano; si el plano está inclinado, corta ambas secciones del cono y no pasa por el vértice del mismo. Ver la Figura 1.

[pic 2]

Definición.        Esta curva está definida como el lugar geométrico de todos los puntos contenidos en un plano, que tienen la propiedad común relativa de que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante, que representaremos por 2a.

[pic 3]

De la Figura 2, se puede ver que los puntos M, F1 y F2 son los vértices de un triángulo y como en todo triángulo la diferencia entre dos de sus lados es menor que el tercero, entonces:

M F 1 - M F 2  < F 1 F 2

[pic 4][pic 5][pic 6]

Figura 1

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[pic 7]

Y dada la definición se puede escribir que:

M F 1 - M F 2 = 2 a

[pic 8][pic 9]

Y que la distancia focal es:

[pic 10][pic 11]

F 1 F 2 = 2 c .

1. Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen.

[pic 12]

Para este tipo de curva las coordenadas de los focos son: F1(-c,0) y F2(c,0).

La condición de movimiento del punto M(x, y) según definición es:

Pero de acuerdo a la expresión para la distancia entre dos puntos tenemos:

M F 1 =        (x + c ) 2 + (y + 0 ) 2        y  M F 2 =        (x - c ) 2 + (y + 0 ) 2

Sustituyendo en (1), tenemos:

[pic 13]

( x + c ) 2 + ( y + 0 ) 2  -        ( x - c ) 2 + ( y + 0 ) 2  = 2 a

Despejando al primer radical:

[pic 14]

( x + c ) 2 + y 2  = 2 a +        ( x - c ) 2 + y 2

Elevando al cuadrado ambos miembros y desarrollando:

(        ( x + c ) 2 + y 2  ) 2 = (2 a +        ( x - c ) 2 + y 2  ) 2

[pic 15][pic 16]

x 2 + 2 c x + c 2 + y 2 = 4 a 2 + 4 a        ( x - c ) 2 + y 2  + x 2 - 2 c x + c 2 + y 2

Reduciendo términos semejantes:

[pic 17]

4 c x - 4 a 2 = 4 a        ( x - c ) 2 + y 2

Dividiendo entre 4, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes:

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