GUÍA DE EJERCICIOS DE PROBABILIDADES

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Indicaciones: desarrolle los siguientes ejercicios dejando constancia de cada uno de los pasos realizados.

La media aritmética y la desviación típica de los porcentajes de re-inversión de utilidades de las empresas constructoras es de 40% y 10% respectivamente. Se pide:

Calcule el porcentaje de empresas que reinvierten entre 20% y 60%

Se busca P(20%≤x≤60%)

Primero se realiza la conversión a unidades de la variable normal z de la siguiente manera:

z_1=(20%-40%)/(10%)=-2

z_2=(60%-40%)/(10%)=2

La gráfica de probabilidad normal queda de la siguiente manera:

Expresando la probabilidad en términos de z se busca P(-2≤z≤2)

Donde:

P(-2≤z≤2)=P(z≤2)+P(z≤2)-1=2P(z≤2)-1=2*0.9772-1=0.9544

Es decir, que el 95.44% de las empresas constructoras reinvierten entre el 20% y 60%

Calcule el porcentaje de empresas que reinvierten más del 50%

Se busca P(x≥50%)

Primero se realiza la conversión a unidades de la variable normal z de la siguiente manera:

z_1=(50%-40%)/(10%)=1

La gráfica de probabilidad normal queda de la siguiente manera:

Expresando la probabilidad en términos de z se busca P(z≥1)

Donde:

P(z≥1)=0.1587

Es decir, que el 15.87% de las empresas constructoras reinvierten más del 50%

Calcule el porcentaje de empresas que reinvierten menos del 65%

Se busca P(x≥65%)

Primero se realiza la conversión a unidades de la variable normal z de la siguiente manera:

z_1=(65%-40%)/(10%)=2.5

La gráfica de probabilidad normal queda de la siguiente manera:

Expresando la probabilidad en términos de z se busca P(z≤2.5)

Donde:

P(z≤2.5)=1-P(z≥2.5)=1-0.0062=0.9938

Es decir, que el 99.38% de las empresas constructoras reinvierten menos del 65%

La distribución de los puntajes de un examen de estadística tiene tendencia normal con media aritmética de 69 puntos y un coeficiente de variabilidad de 14.9%. Calcule:

El porcentaje de estudiantes que tienen puntajes de 75 o más.

Primero se debe encontrar la desviación típica de la distribución, en donde:

CV=σ/x ̅ *100%

σ=(CV*x ̅)/(100%)

σ=(14.9%*69)/(100%)=10.281 puntos

Se busca P(x≥75)

Luego, se realiza la conversión a unidades de la variable normal z de la siguiente manera:

z_1=(75-69)/10.281=0.5836

La gráfica de probabilidad normal queda de la siguiente manera:

Expresando la probabilidad en términos de z se busca P(z≥0.5836)

Se debe interpolar para obtener el valor correcto del área buscada, por lo que se conoce:

P(z≥0.6)=0.2743

P(z≥0.5)=0.3085

0.5 0.3085

0.5836 X

0.6 0.2743

(0.6-0.5)/(0.5836-0.5)=(0.2743-0.3085)/(x-0.3085)

x=0.2799

Esto quiere decir que el 27.99% de los estudiantes tienen puntajes de 75 o más.

El porcentaje de estudiantes que tienen puntajes entre 40 y 60 puntos.

Se busca P(40≤x≤60)

Primero se realiza la conversión a unidades de la variable normal z de la siguiente manera:

z_1=(40-69)/10.281=-2.8207

z_2=(60-69)/10.281=-0.8754

La gráfica de probabilidad normal queda de la siguiente manera:

Expresando la probabilidad en términos de z se busca P(-2.8207≤z≤-0.8754)

Donde:

P(-2.8207≤z≤-0.8754)=P(z≤2.8207)-P(z≤0.8754)

Se debe interpolar para obtener el valor correcto del área buscada, por lo que se conoce:

P(z≤0.9)=0.8159 P(z≤2.9)=0.9981

P(z≤0.8)=0.7881 P(z≤2.7)=0.9965

0.8 0.7881

0.8754 X

0.9 0.8159

2.8 0.9965

2.8207 X

2.9 0.9981

(0.9-0.8)/(0.8754-0.8)=(0.8159-0.7881)/(x-0.7881)=0.7883 (2.9-2.8)/(2.8207-2.8)=(0.9981-0.9965)/(x-0.9965)=0.9968

Sustituyendo en la ecuación anterior se tiene que:

P(z≤2.8207)-P(z≤0.8754)=0.9968-0.7883=0.2085

Esto nos indica que el 20.85% de los estudiantes obtuvieron entre 40 y 60 puntos.

El porcentaje de estudiantes que obtuvieron exactamente 50 puntos.

La estatura de un grupo de personas tiene tendencia normal, con media 1.86 metros y desviación típica de 0.06 metros. Si para desempeñar ciertas funciones en la empresa se necesitan personas que midan 1.72 o más ¿qué porcentaje de personas estarían aptas para desempeñar dichas funciones?

Se busca P(x≥1.72)

Luego, se realiza la conversión a unidades

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