Geometria Y Trigonometria

14. a) Use la definición 2 con el fin de hallar una expresión para el area debajo de la curva y=x3, desde 0 hasta 1, como un limite.

b) Evalue el limite del inciso a) con la ayuda de la formula del ejercicio 13.

15. a) Exprese el area debajo de la curva y= x5, desde 0 hasta 2, como un limite.

16. Encuentre el area exacta de la región debajo de la grafica de y=e-x, desde 0 hasta 2 con un sac para evaluar la suma y, a continuación, el limite del ejemplo 3ª). Compare su respuesta con la estmulacion obtenida en el ejmplo 3b)

17. Encuentre el area exacta debajo de la curva coseinoidal y= cos x, desde x=0 hasta x=b, en donde 0< b < π/2. (Use SAC para evaluar la suma y calcular el limite).En particular, ¿Cuál es el area si b= π/2?

18. a) Sea Aπ el area de un polígono con n lados iguales, inscrito en un circulo con radio r. Al dividr el polígono en n triangulos congruentes con angulo central 2(π/n), demuestre que Aπ=1/2nr2sen(2π/n).

b) Demuestre que lim Aπ= πr2.[Sugerencia :use la ecuación 2 de la sección 3.4]

5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA……………………

En la seccon 5.1 vimos que surge un limite de la forma

1 lim ∑ f(x i) ∆x= lim [f(xi) ∆x+f(x2) ∆x+…+f(xn) ∆x]

cuando se calcula un area.Tambien vimos que aparece cuando intentamos hallar la distancia recorrida por un objeto. Resultaque este tipo de limite se presenta en una amplia variedad de situaciones, incluso cuando f no es necesariamente una función positiva. En el capitulo 6 veremos que también surgen limites de la forma (1) al halla longitudes de curvas, volúmenes de solidos, centros de masa, la fuerza debida a la presión del agua y el trabajo, asi como otras cantidades. Por lo tanto, le damos un nombre y una notación especiales.

2 Definicion de integral definida Si f es una función continua definida para a<x<b, dividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual ancho ∆x=(b-a)/n. Hacemos que x0(=a),x1,x2…, xn(=b) sean los puntos extremos de estos subsintervalos y elegimos los puntos muestras x1, x2…xn en estos subintervalos, de modo que xi se encuentre en el i-esimo subintervalo [xi, xi].

Entonces la integral definida de f, desde a hasta b, es

{ba f(x) dx=lim ∑ f(xi) ∆x

NOTA*Leibniz introdujo el símbolo ∫ y se llama signo de integral. Es una S alargada y se eligio debido a que una integral es un limite de sumas. En la notación ∫ba f(x)dx, f(x) se llama integrando, y a y b se conocen como los limites de integración; a es el limite inferior y b es el limite superior. El símbolo dx no tiene significado; todo ∫ba f(x) dx es un símbolo. El procedimienyo para calcular una integral se llama integración.

NOTA 2 * La integral ∫ba f(x) dx es un numero que no depende de x. De hecho, podríamos usar cualquier letra en lugar de x, sin cambiar el valor de la integral:

∫ba f(x) dx=∫ba f(t)dt=∫ba f(r) dr

NOTA 3 * Debido a que hemos supuesto que f es continua, se puede probar que el limite de la definición 2 siempre existe y da el mismo valor, sin importar como elijamos los puntos muestras xi. Si tomamos como puntos muestras los puntos extremos de la derecha, entonces xi=xi y la deficinicion de integral queda

3 ∫ba f(x) dx=lim ∑ f(xi) ∆x

Si eligimos como puntos muestras los puntos extremos de la izquierda, entonces xi=xi-1y la definición queda

∫ba f(x) dx=lim ∑ f(xi-1) ∆x

De modo alternativo, podriamos elegir xi como el punto de en medio del subintervalo o cualquier otro numero entre xi-1 y x.

Aun cuando la mayor parte de las funciones que encontramos son continuas, el limite de la definición 2 tambien existe si f tiene un numero finito de discontinuidades suprimibles o por salto( pero no discontinuidades infinitas)(Veases la sec. 2.4) De modo que también podemos definir la integral definida para esas funciones.

NOTA 4 * La suma

∑ f(xi) ∆x

que se presenta en la definición 2 se lama suma de Riemann, en honor del matematico alemán Bernhard Riemann (1826-1866). Sabemos que si f es positiva, la suma de Riemann puede interpretarse como una suma de areas de los rectángulos de aproximación. Al comparar la definición 2 con la deficinicion de area de la sección 5.1 tenemos que la integral definida

∫ba f(x)dx puede interpreter como el area debajo de la curva y=f(x), desde a hasta b (véase la fig.2)

Si f toma valores tanto positivo coo negativos (fig. 3), entonces la suma de Riemann es la suma de las areas de los rectángulos que se encuentasn arriba del eje x y las negativas de las areas de los rectángulos ques e encuentran arriba del eje x y las negativas de las areas de los rectángulos que están debajo del eje x (las areas de los rectángulos en blanco menos las areas de los rectángulos sombreados). Cuando tomamos el limite de esas sumas de Riemann, obtenemos la situación ilustrada en la fig.4. Una integral definida puede interpretarse como una diferencia de areas:

∫ba f(x) dx= A1 –A2

Donde A1, es el area de la region arriba del eje x y debajo de la grafica f y A2 corresponde a la región debajo del eje x y arriba de la grafica de f.

EJEMPLO 1. Exprese

lim ∑ [xi3+ xi] ∆x

como una integral sobre el intervalo [0, π]

SOLUCION . Al compara el limite dado con el limite de la definición 2, vemos que será idéntico si elegimos

f(x) =x3+ xsenx y xi=xi

(De mod que los puntos muestras son los puntos extremos de la derecha y el limite dado es de la forma de la ecuación 3.) Se nos da que a=0 y b= π. Por lo tanto, por la definición 2 o la ecuación 3, tenemos

lim ∑ f(xi) ∆x= ∫ba f(x) dx

Mas tarde, cuando apliquemos la integral definida a situaciones físicas, será importante reconocer los limites de sumas como integrales, como en el ejemplo 1. Cuando Leibniz eligio la notación para una integral, escogió los ingredientes para recordar el proceso de tomas el limite. En general, cuando escribimos

lim ∑ f(xi) ∆x= ∫ba f(x) dx

reeemplazmos lim ∑ con ∫, xi con x y ∆x con dx.

Evaluación de integrales

Cuando aplicaos la definición para evaluar una integral definida, necesitamos

...