IMPORTANCIA DE LOS NÚMEROS REALES

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INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIAL

Cálculo Diferencial

Importancia de los Números Reales[pic 5]

Profesor: Cesar Augusto Leija Franco

Alumno: Cristopher Omar Sánchez Gasca[pic 6]

Fecha: 20 Agosto 2018

INTRODUCCIÓN.

 Una de las herramientas más poderosas de las matemáticas es el cálculo. Su evolución ha ocurrido de manera paralela a los diferentes sistemas numéricos, desde los primeros conteos hasta la era tecnológica. El cálculo fundamenta su estudio en las propiedades de los números reales. En la matemática elemental los números reales son de particular interés, estos son denotados por la letra R.

Hoy en día la ciencia y la tecnología ha alcanzado niveles extraordinarios. El desarrollo de la física, la química, la biología, la astronomía, la medicina, la ingeniería y muchas ramas más, fundamentan su progreso en la aplicación de una de las herramientas más poderosas de las matemáticas, el cálculo infinitesimal.

El cálculo sustenta su estudio en el conjunto de los números reales, por esta razón es necesario conocer sus axiomas y sus principales propiedades. Existen diversas maneras de iniciar el estudio del sistema de los números reales, pero una de las más utilizadas considera los sistemas numéricos más sencillos. Todos estos sistemas numéricos serán estudiados a lo largo del presente trabajo.

G, Zill. Dennis. (2011). Matemáticas: Cálculo Diferencial. Editorial Mc Graw Hill.

1.- Los números Reales.

El Cálculo de sustenta en el conjunto de los números reales, por esta razón es necesario conocer sus axiomas y sus principales propiedades. Existen diversas maneras de iniciar los estudios del sistema de números reales, pero una de las más utilizadas considera los sistemas numéricos más sencillos, el primero de ellos es el conjunto de los números naturales.

1.1 Definición del conjunto de los Números Naturales.

El conjunto de los números naturales se denota por la letra N, y se define como

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . . .}

Una de las principals aplicaciones de las matemáticas en la vida real ha sido el conteo y los números naturales han sido la herramienta perfecta para estos propósitos, una de las propiedades más importantes de este sistema es a existencia de un orden, la existencia del 1 como primer elemento, todo número natural tiene a este número como sucesor y al mismo tiempo otra característica es que todo número natural excepto el 1 tiene otro número natura que lo antecede.

Propiedades de los números naturales.

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En los números naturales se definen dos operaciones, la suma y la multiplicación, ambas operaciones son cerradas, conmutativas y asociativas, la suma distribuye respecto al producto, el número natural 1 es el neutro mutiplicativo.

Sin embargo, estas propiedades no son suficientes para describir algunos fenómenos físicos, por ejemplo, las temperaturas bajo cero, altitudes por debajo del nivel del mar o la distancia entre dos puntos.

1.2  Definición de los números enteros.

Se define al conjunto de los números enteros como.

Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2 . . .}

Dentro de los números enteros también se encuentran definidas las operaciones de suma y multiplicación, de nueva cuenta estas operaciones son cerradas, conmutativas y asociativas, también se verifica la propiedad distributiva de la suma. Una de las particularidades de los números enteros es que se agrega el número 0 como elemento neutro aditivo y los números negativos.

Los números negativos permiten definir a la operación resta como  la operación derivada de sumar un número con el inverso aditivo de otro número es decir.

x – y = x + (- y).

1.3 Definición de los Números Racionales.

Se define a los números Racionales como:

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Los números racionales históricamente se definen como cociente de dos números enteros, la condición para que los números racionales existan es que el denominador debe ser diferente de 0. Todas las propiedades de los número enteros siguen siendo válidas en los números racionales Q, sin embargo, existen algunas particularidades que debemos añadir al estudio de los racionales.

La existencia de los inversos multiplicativos para cualquier número racional, excepto el cero, Se define la división de dos números como el producto de uno por el inverso multiplicativo de otro número distinto de cero.

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1.4 Definición del conjunto de números irracionales.

Se define al conjunto de los números irracionales I como el conjunto de los números que no son racionales.

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Se define al conjunto de los números reales como la unión disjunta de núeros racionales e irracionales. Es decir [pic 11]

Tenemos que observar que los racionales y los irracionales son conjuntos distintos, esto es, que dado un número real o está en Q o está en I pero nunca en ambos. Además se verifican las contenciones propias.

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1.5 Recta Numérica.

Los números reales se pueden representar gráficamente como puntos a lo largo de una línea recta, al tomar cualquier número real x se toma un segmento de longitud x a la derecha del cero (si x es positivo) o a la izquierda del cero (si x es negativo).

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El cero se conoce como el origen de la recta real, el número 1 se conoce como la escala, por lo anterior mencionado, sobre la recta se representan los reales positivos, el cero y los reales negativos, cada punto sobre la recta representa un número real y cada número real lo podemos representar como un punto sobre la recta.

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