Implementar los conceptos para la resolución de las ecuaciones diferenciales según su método

Contenido

Objetivo:        1

Temas:        1

CAPITULO 2[ EDO lineales de segundo orden]        1

CAPITULO 3 [EDO lineales de orden superior]        1

EDO Lineales de Segundo Orden        1

Modelado: oscilaciones libres. (Sistema de resorte de masa)        1

Existen 3 casos para estas Ecuaciones        3

Caso 1: Sobre Amortiguado        3

Caso 2: Sistema críticamente amortiguado        3

Caso 3: Sistema Su amortiguado        4

Modelado: oscilaciones forzadas. Resonancia        4

Caso 1: Oscilaciones forzadas no amortiguadas. Resonancia        6

Caso 2: Oscilaciones forzadas amortiguadas        6

Modelado: circuitos eléctricos        7

Objetivo:

Implementar los conceptos para la resolución de las ecuaciones diferenciales según su método.

Temas:

CAPITULO 2[ EDO lineales de segundo orden]

• 2.4 Modelado: oscilaciones libres. (Sistema de resorte de masa)
• 2.8 Modelado: oscilaciones forzadas. Resonancia
• 2.9 Modelado: circuitos eléctricos

CAPITULO 3 [EDO lineales de orden superior]

• 3.1 EDO lineales homogéneas
• 3.2 EDO lineales homogéneas con coeficientes constantes
• 3.3 EDO lineales no homogéneas

EDO Lineales de Segundo Orden

Una ecuación diferencial lineal de segundo orden se suele escribir como:

[pic 1]

donde p, q y r son funciones continuas en un intervalo x ⊂ R.

Para determinar si son linealmente independiente existen varios métodos como:

El Wronskiano si es = 0, es linealmente independiente.

Si   [pic 2]

Modelado: oscilaciones libres. (Sistema de resorte de masa)

Las EDO lineales son coeficientes constantes tienen aplicaciones importantes en la mecánica, en los circuitos eléctricos, el sistema de resorte de masa que sube y baja será una Edo Homogénea.

[pic 3]

Tomamos un resorte ordinario que resiste la comprensión, así como la extensión y la suspensión, verticalmente desde un soporte fijo. En el extremo inferior adjuntamos un cuerpo con masa m, asumimos que son tan grande que podemos descuidar la masa.

¿Cómo podemos obtener el movimiento del cuerpo, el desplazamiento, en función del tiempo?

Aceleración*Masa =fuerza

Para esto utilizamos también la ley de Hooke (Resorte).

[pic 4]

Sistema sin Amortiguación: ODE y Solución

Cada sistema tiene amortiguación, de lo contrario seguiría moviéndose para siempre, pero prácticamente el efecto de amortiguación a menudo puede ser insignificante, por ejemplo, como para el movimiento de una bala de hierro durante unos minutos, entonces F, es la única fuerza causando movimiento da el modelo

[pic 5]

[pic 6]

Ejemplo:

                                               Y(t)= A Cos ([pic 7]

[pic 8]

El movimiento correspondiente se llama oscilación armónica, dado que las funciones trigonométricas tienen el periodo de 2π el cuerpo ejecuta  π ciclos por segundo.[pic 9]

La suma puede combinarse, desplazada con amplitud  y un angulo de desface =[pic 10][pic 11]

[pic 12]

Sistema amortiguado: ODE y soluciones

Ahora agregamos fuerza de amortiguación

[pic 13]

A nuestro modelo  , para que nosotros tengamos:[pic 14]

[pic 15]

o

[pic 16]

Si la ecuación es lineal homogénea y tiene coeficientes constantes. Por lo tanto, podemos resolver por la ecuación característica:

[pic 17]

Existen 3 casos para estas Ecuaciones

Caso 1: Sobre Amortiguado

[pic 18]

Es aquel en el que el coeficiente de amortiguamiento b es mayor que el coeficiente de elasticidad del resorte k, esto significa que el movimiento oscilatorio no ocurre puesto que el amortiguamiento es fuerte

[pic 19]

Caso 2: Sistema críticamente amortiguado

[pic 20]

En un sistema críticamente amortiguado, el sistema se encuentra en un estado estático, es decir, que cualquier variación en la fuerza de amortiguamiento el sistema pasaría a ser sobre amortiguado (aumento), o su amortiguado (disminución); esto indica que al liberar la masa esta regresará a su posición de equilibrio estático sin ningún tipo de oscilación.

X(t)= [pic 21]

Caso 3: Sistema Su amortiguado

En el caso de un sistema su amortiguado el coeficiente de amortiguamiento es más pequeño que el de elasticidad del resorte, lo que permite que, al liberar la masa, esta tenga un movimiento oscilatorio hasta que regresé a su posición de equilibrio.

[pic 22]

[pic 23]

Por lo tanto, la ecuación general

[pic 24]

Modelado: oscilaciones forzadas. Resonancia

Ahora ampliamos nuestro modelo incluyendo una fuerza externa, tenemos:

[pic 25]

Mecánicamente esto significa que en cada instante t se encuentra el resultado de las fuerzas internas en equilibrio. De especial interés son las fuerzas externas periódicas y consideramos una fuerza impulsora de forma:

[pic 26]

([pic 27]

Entonces tenemos las no homogéneas:

[pic 28]

Utilicemos el método de coeficientes indeterminados:

[pic 29]

Al diferenciar esta función (regla de la cadena) obtenemos:

[pic 30]

[pic 31]

Sustituyendo ,,  dentro [pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

[pic 36]

Los términos del coseno en ambos lados deben ser iguales y el coeficiente de los términos del seno en el lado izquierdo debe ser 0 ya que no hay un término del seno a la derecha. Esto da dos ecuaciones:

[pic 37]

[pic 38]

Para determinar los coeficientes desconocidos a y b, este es un sistema lineal. Podemos resolverlo por eliminación. Para eliminar b, multiplique la primera ecuación  y la segunda por y sume los resultados obtenidos[pic 39][pic 40]

...