Inferencia Estadistica

2.2 CARACTERÍSTICAS DE UN ESTIMADOR.

SESGO: Se dice que un estimador es insesgado si la Media de la distribución del estimador es igual al parámetro.

Estimadores insesgados son la Media muestral (estimador de la Media de la población) y la Varianza (estimador de la Varianza de la población):

Ejemplo:

En una población de 500 puntuaciones cuya Media (m) es igual a 5.09 han hecho un muestreo aleatorio (número de muestras= 10000, tamaño de las muestras= 100) y hallan que la Media de las Medias muéstrales es igual a 5.09, (la media poblacional y la media de las medias muéstrales coinciden). En cambio, la Mediana de la población es igual a 5 y la Media de las Medianas es igual a5.1 esto es, hay diferencia ya que la Mediana es un estimador sesgado.

La Varianza es un estimador sesgado. Ejemplo: La Media de las Varianzas obtenidas con la Varianza

En un muestreo de 1000 muestras (n=25) en que la Varianza de la población es igual a 9.56 ha resultado igual a 9.12, esto es, no coinciden. En cambio, al utilizar la Cuasi varianza

La Media de las Varianzas muéstrales es igual a 9.5, esto es, coincide con la Varianza de la población ya que la Cuasi varianza es un estimador insesgado.

CONSISTENCIA: Un estimador es consistente si aproxima el valor del parámetro cuanto mayor es n (tamaño de la muestra).

Algunos estimadores consistentes son:

Ejemplo:

En una población de 500 puntuaciones cuya Media (m) es igual a 4.9 han hecho tres muestreos aleatorios (número de muestras= 100) con los siguientes resultados:

Vemos que el muestreo en que n=100 la Media de las Medias muéstrales toma el mismo valor que la Media de la población.

EFICIENCIA. Diremos que un estimador es más eficiente que otro si la Varianza de la distribución maestral del estimador es menor a la del otro estimador. Cuanto menor es la eficiencia, menor es la confianza de que el estadístico obtenido en la muestra aproxime al parámetro poblacional.

Ejemplo:

La Varianza de la distribución maestral de la Media en un muestreo aleatorio (número de muestras: 1000, n=25) ha resultado igual a 0.4. La Varianza de la distribución de Medianas ha resultado, en el mismo muestreo, igual a 1.12, (este resultado muestra que la Media es un estimador más eficiente que la Mediana).

2.3 ESTIMACIÓN PUNTUAL

La inferencia estadística está casi siempre concentrada en obtener algún tipo de conclusión acerca de uno o más parámetros (características poblacionales). Para hacerlo, se requiere que un investigador obtenga datos muéstrales de cada una de las poblaciones en estudio. Entonces, las conclusiones pueden estar basadas en los valores calculados de varias cantidades muéstrales.

Ejemplo: representamos con (parámetro) el verdadero promedio de resistencia a la ruptura de conexiones de alambres utilizados para unir obleas de semiconductores. Podría tomarse una muestra aleatoria de 10 conexiones para determinar la resistencia a la ruptura de cada una, y la media maestral de la resistencia a la ruptura se podía emplear para sacar una conclusión acerca del valor de. De forma similar, si es la varianza de la distribución de resistencia a la ruptura, el valor de la varianza maestral s2 se podría utilizar para inferir algo acerca de.

Cuando se analizan conceptos generales y métodos de inferencia es conveniente tener un símbolo genérico para el parámetro de interés. Se utilizará la letra griega para este propósito. El objetivo de la estimación puntual es seleccionar sólo un número, basados en datos de la muestra, que represente el valor más razonable de.

Una muestra aleatoria de 3 baterías para calculadora podría presentar duraciones observadas en horas de x1=5.0, x2=6.4 y x3=5.9. El valor calculado de la duración media maestral es = 5.77, y es razonable considerar 5.77 como el valor más adecuado de.

Una estimación puntual de un parámetro es un sólo número que se puede considerar como el valor más razonable de. La estimación puntual se obtiene al seleccionar una estadística apropiada y calcular su valor a partir de datos de la muestra dada. La estadística seleccionada se llama estimador puntual de.

El símbolo (theta sombrero) suele utilizarse para representar el estimador de y la estimación puntual resultante de una muestra dada. Entonces se lee como "el estimador puntual de es la media maestral". El enunciado "la estimación puntual de es 5.77" se puede escribir en forma abreviada.

Ejemplo: En el futuro habrá cada vez más interés en desarrollar aleaciones de Mg de bajo costo, para varios procesos de fundición. En consecuencia, es importante contar con métodos prácticos para determinar varias propiedades mecánicas de esas aleaciones. Examine la siguiente muestra de mediciones del módulo de elasticidad obtenidos de un proceso de fundición a presión:

44.2 43.9 44.7 44.2 44.0 43.8 44.6 43.1

Suponga que esas observaciones son el resultado de una muestra aleatoria. Se desea estimar la varianza poblacional. Un estimador natural es la varianza maestral:

En el mejor de los casos, se encontrará un estimado para el cual siempre. Sin embargo, es una función de las Xi muéstrales, por lo que en sí misma una variable aleatoria.

+ Error de estimación

Entonces el estimador preciso sería uno que produzca sólo pequeñas diferencias de estimación, de modo que los valores estimados se acerquen al valor verdadero.

2.4 ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

Un estimado puntual, por ser un sólo número, no proporciona por sí mismo información alguna sobre la precisión y confiabilidad de la estimación.

Por ejemplo: imagine que se usa el estadístico para calcular un estimado puntual de la resistencia real a la ruptura de toallas de papel de cierta marca, y suponga que = 9322.7. Debido a la variabilidad de la muestra, nunca se tendrá el caso de que =. El estimado puntual nada dice sobre lo cercano que esta de. Una alternativa para reportar un solo valor del parámetro que se esté estimando es calcular e informar todo un intervalo de valores factibles, un estimado de intervalo o intervalo de confianza (IC).

Un intervalo de confianza se calcula siempre seleccionando primero un nivel de confianza, que es una medida del grado de fiabilidad en el intervalo. Un intervalo de confianza con un nivel de confianza de 95% de la resistencia real promedio a la ruptura podría tener un límite inferior de 9162.5 y uno superior de 9482.9. Entonces, en un nivel de confianza de 95%, es posible

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