Interpolación

Interpolación lineal

La interpolación lineal es el método más simple en uso hoy. Es el método usado por los programas de generación de gráficas, donde se interpola con líneas rectas entre una serie de puntos que el usuario quiere graficar.

La idea básica es conectar los 2 puntos dados en xi, es decir (x0, y0) y (x1, y1). La función interpolante es una línea recta entre los dos puntos. Para cualquier punto entre los dos valores de x0 y x1 se debe seguir la ecuación de la línea.

(y-x_0)/(y_1-y_0 )=(x-x_0)/(x_1-x_0 )

Que se puede derivar geométricamente.

En lo anterior, el único valor desconocido es y, que presenta el valor desconocido para x, despejando queda:

y=y_0+(x-x_0)(y_1-y_0)/(x_1-x_0 )

Donde se asume que x_0<x<x_1 , de otra forma esto se conocería como extrapolación.

Si se tienen más de dos puntos para la interpolación, es decir N>2 con puntos x_0,x_1,… ,x_N simplemente se concatena la interpolación linear entre pares de puntos continuos.

Interpolación polinomial

Cuando se tienen dos puntos, éstos pueden ser unidos con una línea recta. Dos puntos cualesquiera en un plano (x_0,y_0) y (x_1,y_1), donde x_0≠x_1, determinan un polinomio de primer grado en x, donde la función pasa por ambos puntos.

Una generalización de lo anterior sugiere que dados N puntos en un plano (x_k,y_k) con k = 1,2, • • •, N y distintos x_k, existe un único polinomio en x degrado menor a N cuya función pasa por todos los puntos.

Este tipo de polinomio se le conoce como polinomio de interpolación ya que reproduce los datos exactamente

P(x_k )=y_k,k=1 • • •,N

La forma de describir este tipo de polinomios es con la forma Lagrangiana:

P(x)=∑_k▒〖(∏_(j≠k)▒〖(x-x_j)/(x_k-x_j ))y_k 〗〗

Donde hay N términos en la suma y N − 1 en los productos, de tal manera que esta expresión describe un polinomio de grado hasta N −1. Si P(x) es evaluado en los puntos x=x_k, todos los productos excepto el k son ceros. Además el producto k es igual a 1, así que la suma es igual a y_k y las condiciones de interpolación (puntos x_k exactos) son cumplidas.

Una forma más común de representar un polinomio, diferente a la Lagrangiana es de la forma

x^3-2x-5

Conocida como power form. Esta expresión se puede generalizar para polinomios de interpolación así:

P(x)=c_1 x^(n-1)+c_2 x^(n-2)+⋯+c_(n-1) x+c_N

Donde c_N son los coeficientes que deben ser estimados o encontrados. Este sistema de ecuaciones lineales se puede resolver con métodos de teoría de inversión y estimación paramétrica.

Interpolación Spline Cúbico

Hasta ahora se han presentado dos métodos de interpolación. Uno de ellos es local (solo usa dos puntos alrededor del punto de interés x) y el otro es no local, usa todos los puntos para estimar el fvalor

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