Interpolacion

Interpolación

La interpolación es una técnica muy útil para aproximar funciones y también para estimar valores intermedios de las mismas en una serie de datos tal y como puede observarse en la figura, esta técnica nos permite conocer un valor intermedio para la función F(x) cuando se conocen dos valores extremos de ésta, F(a) y F(b).

Para este caso con los dos puntos extremos a y b, la interpolación más simple es la lineal, es decir se supone que la función F(x) de un punto intermedio cualquiera vendrá dada por:

Esta es la fórmula de interpolación lineal más sencilla, aunque es muy útil. El ajuste será mejor entre mas recta sea la función F(x) en el tramo de interpolación en cuestión. Si la función F(x) fuese curva, podría utilizarse interpolación cuadrática o de un grado mayor, o bien, la lineal pero dividiendo el intervalo de trabajo en subintervalos más pequeños para X.

En la formula mostrada, también podemos apreciar el error cometido por usar interpolación lineal para el cálculo de la función F(x1).

Para cualquier tipo de interpolación, el grado de esta será menor en uno al número de puntos base necesarios para llevarla a cabo, así por ejemplo para interpolación cuadrática (grado 2), necesitaremos tres puntos; para interpolación cubica, cuatro, y así sucesivamente.

Si de deseara conocer algún valor de la función F(x) fuera el intervalo de trabajo, hablaríamos de extrapolación, la cual se efectuaría igual que la interpolación, pero el riesgo de cometer algún error es mayor, dado que no se conoce el comportamiento de la función F(x) más allá de los limites especificados.

Fórmulas de Interpolación de Newton de diferencias divididas.

Si se conoce F(x) para un rango de valores de X que va de X0, X1, X2,….., XN y se desea aproximar F(x) en un valor intermedio por decir X0 ≤ X ≤ X1, la fórmula para calcular F(x) será:

Ec. (VI.2)

Donde el término del paréntesis rectangular es conocido como la primera diferencia dividida o también como la diferencia dividida de primer orden y se presenta como F(X0, X1) o sea:

Ec. (VI.3)

Además se tiene que,

Ec. (VI.4)

En general,

Ec. (VI.5)

Por su parte para la segunda diferencia dividida o de segundo orden, se tendrá lo siguiente:

Ec. (VI.6)

La cual también puede visualizarse como la diferencia dividida de las diferencias de primer orden.

En general para orden N se tiene que:

Ec. (VI.7)

Ahora volviendo a la Ec. (VI.2) e introduciendo la notación de diferencia dividida, tendremos:

Ec. (VI.8)

Y para la segunda diferencia dividida,

Ec. (VI.9)

Despejando de aquí a F(X, X0) y sustituyendo la expresión en la Ec. (VI.8) tendremos:

Ec. (VI.10)

De aquí para una diferencia dividida de tercer orden tendríamos:

Ec. (VI.11)

Despejando a F(X, X0, X1) y sustituyendo en la Ec. (VI.10) llegamos a:

Ec. (VI.12)

De esta fórmula no conocemos a F(X, X0, X1, X2), si la suponemos igual a cero, obtendremos:

Ec. (VI.13)

Y esta es la fórmula de diferencias divididas para interpolación cuadrática, la cual es muy usada en casos prácticos.

La correspondiente fórmula para el caso lineal se obtiene a partir de la Ec. (VI.10) si suponemos a F(X, X0, X1) igual a cero entonces:

Ec. (VI.14)

De estas fórmulas vemos que esta ultima necesita de 2 puntos conocidos para poder ser aplicada. X0 y X1, mientras que la cuadrática requerirá además del punto X2.

Si se deseara una fórmula de interpolación de orden mayor, habría que introducir la diferencia dividida de orden mayor correspondiente. Sin embargo en la práctica pocas veces se necesita interpolación de orden mayor que la cuadrática.

La fórmula de interpolación general de orden (M + 1) es:

Ec. (VI.15)

La cual dependiente desde cual termino se trunque, dará origen a todas las demás fórmulas.

A continuación presentaremos dos ejemplos numéricos, uno para interpolación lineal y el otro para cuadrática.

Ejemplo:

Calcular por interpolación lineal el logaritmo decimal de 5 usando

a) Log 3 = 0.477121 y log 7 = 0.845098

b) Log 4 = 0.602060 y log 6 = 0.778151

Y hallar el error para cada inciso si el valor verdadero es 0.698970.

Solución:

Utilizaremos la fórmula de interpolación lineal dada por la Ec. (V.I.14), entonces para (a) X0 = 3, X1=7, f(X0) = 0.477121 y f(X1) = 0.845098, tendremos:

Siendo

El cual al sustituirse en la ecuación anterior dará:

Y el error será:

(b) ahora X0 = 4, X1=6, f(X1)=0.778151, los cuales al sustituirse en la fórmula lineal dará:

Siendo

El cual al sustituirse en la ecuación anterior dará:

Por su parte para el error tendremos:

Esto nos indica que el error disminuye al hacer el intervalo para la interpolación más pequeño.

Ejemplo:

Calcular el logaritmo de 5 por interpolación cuadrática utilizando como puntos base X0=4, X1=6, y X2=7 y obtener el porcentaje de error.

Solución:

Ahora usaremos la Ec. (VI.13), entonces para este caso tendremos:

Del problema anterior teníamos log (4,6)= 0.0880456

Por su parte para log (4, 6, 7)

A su vez,

Por su parte, para el log (4, 6, 7) tendremos:

Y estos valores se sustituyen en la ecuación de log 5 para obtener:

Siendo el error:

De aquí vemos que el error fue considerablemente menor que para el caso lineal, lo cual resulta lógico pues la función logarítmica no es lineal.

Fórmulas de Newton para puntos equidistantes por

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