INTERPOLACIÓN

INTERPOLACIÓN

En este capítulo estudiaremos el importantísimo tema de la interpolación de datos. Veremos dos tipos de interpolación: la interpolación polinomial y la interpolación segmentaria (splines).

Comencemos dando la definición general.

Definición. Dados puntos que corresponden a los datos:

y los cuales se representan gráficamente como puntos en el plano cartesiano,

Si existe una función definida en el intervalo (donde suponemos que ), tal que para , entonces a se le llama una función de interpolación de los datos, cuando es usada para aproximar valores dentro del intervalo , y se le llama función de extrapolación de los datos, cuando está definida y es usada para aproximar valores fuera del intervalo.

Evidentemente pueden existir varios tipos de funciones que interpolen los mismos datos; por ejemplo, funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones polinomiales, combinaciones de éstas, etc.

El tipo de interpolación que uno elige, depende generalmente de la naturaleza de los datos que se están manejando, así como de los valores intermedios que se están esperando.

Un tipo muy importante es la interpolación por funciones polinomiales. Puesto que evidentemente pueden existir una infinidad de funciones polinomiales de interpolación para una misma tabla de datos, se hace una petición extra para que el polinomio de interpolación , sea único.

Definición. Un polinomio de interpolación es una función polinomial que además de interpolar los datos, es el de menor grado posible.

Caso n=0

Tenemos los datos:

En este caso, tenemos que (polinomio constante) es el polinomio de menor grado tal que , por lo tanto, es el polinomio de interpolación.

Caso n=1

Tenemos los datos:

En este caso, el polinomio de interpolación es la función lineal que une a los dos puntos dados. Por lo tanto, tenemos que

es el polinomio de interpolación.

La siguiente gráfica representa este caso:

Observación.

Vemos que en el polinomio de interpolación del caso n=1 se encuentra como primer término, , que es el polinomio de interpolación del caso n=0.

Continuemos:

Caso n=2

Tenemos los datos:

Para este caso, el polinomio de interpolación va a ser un polinomio de grado 2. Tomando en cuenta la observación anterior, intuímos que el polinomio de interpolación será como sigue:

término cuadrático

Por lo tanto, planteamos el polinomio de interpolación como sigue:

Si asignamos , se anulan los valores de y , quedándonos el resultado:

Como se debe cumplir que , entonces:

Si asignamos , el valor de queda anulado, resultando lo siguiente:

Como se debe cumplir que y ya sabemos que , entonces , de lo cual obtenemos el valor para :

Asignando , vamos a obtener :

Como se debe cumplir que , y ya sabemos que y , sustituímos estos datos para después despejar el valor de :

De lo cual podemos hacer un despeje parcial para lograr la siguiente igualdad :

Ahora en el numerador del miembro izquierdo de la igualdad, le sumamos un cero , de tal manera que no se altere la igualdad:

A continuación, aplicamos un poco de álgebra para así obtener los siguientes resultados:

Y finalmente despejando a vamos a obtener :

Por lo tanto, el polinomio de interpolación para este caso es:

Observación.

Vemos que efectivamente el polinomio de interpolación contiene al del caso anterior, más un término extra que es de un grado mayor, pero además vemos que cada uno de los coeficientes del polinomio de interpolación, se forman a base de cocientes de diferencias de cocientes de diferencias, etc. Esto da lugar a la definición de diferencias divididas finitas de Newton, como sigue:

DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS DE NEWTON

Las diferencias divididas finitas de Newton, se define de la siguiente manera:

A manera de ejemplo citemos el siguiente caso específico :

donde a su vez:

y

Y donde a su vez:

etc.

Podemos ahora definir nuestro primer tipo de polinomio de interpolación.

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS

Dados datos:

- El polinomio de interpolación de Newton se define de la siguiente manera:

donde :

Para calcular los coeficientes , es conveniente construir una tabla de diferencias divididas como la siguiente :

Obsérvese que los coeficientes del polinomio de interpolación de Newton, se encuentran en la parte superior de la tabla de diferencias divididas.

Ejemplo 1. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos :

Y utilizar la información de dicha tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton.

Solución.

Procedemos como sigue:

Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton es :

Ejemplo 2. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos :

Y usar la información en la tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton.

Solución. Procedemos como sigue:

Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton nos

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