INTERPOLACION NUMERICA

Lino Alvarez - Aurea Martinez ———————————— METODOS NUMERICOS

TEMA 5:        INTERPOLACION NUMERICA

1. EL PROBLEMA GENERAL DE INTER- POLACION

En ocasiones se plantea el problema de que se conoce una tabla de valores de una funci´on desconocida o dif´ıcil de manejar, y nos interesar´ıa sustituirla por otra m´as sen- cilla (por ejemplo, un polinomio) que verifique la tabla de valores. Este es el problema de interpolaci´on polin´omica que introduciremos en este tema de forma abstracta:

El  Problema  General  de  Interpolaci´on (P.G.I.)  se plantea de la siguiente manera:

Sea L un espacio vectorial de dimensi´on N sobre R.

Sean F1, . . . , FN ∈ L∗, esto es, N aplicaciones lineales

Fi : L −→ R,        i = 1, . . . , N.

Entonces, dados w1, . . . , wN ∈ R, encontrar f ∈ L tal que:

Fi(f ) = wi,        ∀i = 1, . . . , N.

Teorema 1 .- (Existencia y unicidad de soluci´on del P.G.I.)

Son equivalentes:

1. Existe un

u´nico elemento f ∈ L tal que

Fi(f ) = wi,        ∀i = 1, . . . , N.

1. 0 es el

u´nico elemento de L tal que

Fi(f ) = 0,        ∀i = 1, . . . , N.

1. Para cualquier base {f1, . . . , fN } de L se tiene que        det(Fi(fj)) ƒ= 0.
2. Existe, al menos, una base {f1, . . . , fN } de L tal que        det(Fi(fj)) ƒ= 0.
3. {F1, . . . , FN } son linealmente independientes en

L∗. (Y, por tanto, son base de L∗)

En caso de que el P.G.I. tenga soluci´on u´nica, esta puede caracterizarse mediante el siguiente resultado:

Teorema 2 .- (Representaci´on de Lagrange)

Sea L un espacio vectorial de dimensi´on N sobre R.

Sea {F1, . . . , FN } una base de L∗.

Sea {f1∗, . . . , fN∗ } su base dual, es decir:

Fi(fj∗) = δij,        ∀i, j = 1, . . . , N.

Entonces, dados w1, . . . , wN ∈ R, el

f ∈ L tal que:

u´nico elemento

Fi(f ) = wi,        ∀i = 1, . . . , N

se escribe de la forma:

f = iΣ=1 wifi∗.[pic 1]

Casos particulares:

1. Interpolaci´on de LAGRANGE:

Sean x0, x1, . . . , xn, (n +1) puntos distintos de R. Sean w0, w1, . . . , wn, (n + 1) valores reales arbitrarios. En- tonces existe un u´nico polinomio P (x) de grado ≤ n tal que

P (xi) = wi,        ∀i = 0, 1, . . . , n.

Para demostrarlo basta tomar en el Teorema 1:

L = Pn(R) =< {1, x. . . . , xn} >,        N = n + 1,

Fi : p ∈ Pn(R) → Fi(p) = p(xi) ∈ R, i = 0, . . . , n.

(El sistema {F0, . . . , Fn} una base porque el determi- nante resultante al aplicarlo a la base {1, x. . . . , xn} es no nulo).

Al polinomio P (x) se le llama polinomio de interpo- laci´on de Lagrange de grado n en los nodos x0, . . . , xn.

La base dual, que denominaremos {l0, . . . , ln}, viene dada por:

l (x) =        (x − x0) . . . (x − xi−1)(x − xi+1) . . . (x − xn)[pic 2][pic 3]

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