LAS MATRICES ESTOCÁSTICAS O CADENAS DE MARKOV

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

Facultad de Ciencias Económicas Contables y Administrativas

Escuela Académico Profesional de Economía

[pic 3]

CURSO: Matemática para Economistas III

TEMA: Matrices Estocásticas

PROFESOR: Ramirez Rayco, Yeudy

INTEGRANTES:

• Barboza Colorado, Carmen 
• Bustamante Lara, Deysy
• Llanos Rudas, Denisse
• Pizan Villareal, Silvana
• Rodríguez Soto, Bruno 

CICLO: IV

GRUPO: “A”

Cajamarca, 05 de Octubre del 2016

DEDICATORIA

Dedicado a nuestros padres quienes con nobleza y entusiasmo depositaron en nosotros su apoyo incondicional. Quienes nos han sabido guiar al camino de la verdad a fin de engrandecer a nuestra patria y honrar a nuestra familia.  

AGRADECIMIENTO

Agradecemos a Dios por darnos vida y salud, al profesor Yeudy Ramirez Rayco que de una u otra manera hace posible nuestra enseñanza, de ella una juventud pensando en el futuro de nuestra patria.

ÍNDICE

DEDICATORIA……...…………………………………………………………………….2

AGADECIMIENO………………………………………………………………………….3

INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………….5

CONTENIDO: MATRICES ESTOCÁSTICAS

1. Definición……………………………………………………………………………..8
2.  Elementos de una cadena de Markov ……………………………………………10
3. Matrices de Probabilidad de Transición …………………………………………10
4. Cadena Finita De Markov …………………………………………………………11
5. Propiedad Markoviana …………………………………………………………….12
6. Tipos De Matriz Estocástica ………………………………………………………13
7. Otros Tipos De Matrices Estocásticas O cadena De Markov …………………15
8. Aplicaciones………………………………………………………………………... 18
9. Ejercicios de aplicación…………………………………………………………………… 19

CONCLUSIONES……………………………………………………………………….25

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS…………………………………………………..26

INTRODUCCIÓN

A través de esta monografía dejaremos plasmada la teoría de las Matrices Estocásticas o Cadenas de Markov  y sus respectivas aplicaciones, pero en especial hacia la Economía y la Administración.

Una cadena de Markov es un proceso en tiempo discreto en el que una variable aleatoria X va cambiando con el paso del tiempo. Las cadenas de Markov tienen la propiedad de que la probabilidad de que [pic 4] sólo depende del estado inmediatamente anterior del sistema: [pic 5]

Las cadenas de Markov son modelos probabilísticos que tienen como característica principal, que los estados futuros son independientes y las probabilidades no son las mismas de acuerdo a la distribución.

Además las cadenas de Markov son de vital importancia, ya que nos ayudaran a conocer más y poder resolver los problemas relacionados a matemática que se nos presenten en nuestra carrera y a la vez tomar la mejor decisión para la empresa.

CONTENIDO:

LAS MATRICES ESTOCÁSTICAS O CADENAS DE MARKOV

1. Definición

Una cadena de Markov,  que recibe su nombre del matemático ruso Andrei Andreevitch Márkov (1856-1922), es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. Es una herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de determinados tipos de procesos estocásticos, esto es, procesos que funcionan de forma no determinada a lo largo del tiempo en tomo a un conjunto de estados.

Una cadena de Markov es una sucesión de ensayos similares u observaciones en el cual cada ensayo tiene el mismo número finito de resultados posibles y en donde también la probabilidad de cada resultado para un ensayo dado depende solo del resultado del ensayo inmediatamente precedente y no de cualesquier resultado previo.

El caso más simple de un proceso estocástico en el que los resultados dependen de otros, ocurre cuando el resultado en cada etapa solo depende de resultado de la etapa anterior y no de cualquiera de los resultados previos.

Ejemplo:

• Un ejemplo muy simpe de proceso estocástico es una sucesión de ensayos de Bernoulli, por ejemplo, una sucesión del lanzamiento de una moneda. En este caso, el resultado en cualquier etapa es independiente de todos resultados previos; sin embargo, en la mayoría de los procesos estocásticos cada resultado depende de lo k sucedió en etapas anteriores del proceso.

[pic 6]

En matemáticas, una matriz estocástica, matriz de probabilidad, o matriz de transición es utilizada para describir las transiciones de una cadena de Markov.

Dado que si una matriz   de tamaño n * m se dice que es estocástica por filas (columnoas), si todos sus elementos son números reales no negativos y la suma de los elementos de cada una de sus filas (columnas) es igual a 1. Es decir:[pic 7]

[pic 8]

Además si A es estocástica por filas la sumatoria desde j=1 hasta n de los  va a ser igual a 1. Lo mismo ocurre para las columnas.[pic 9]

Por ejemplo:

[pic 10]

¿Qué es una cadena de markov?

Una cadena de markov es un proceso estocástico a tiempo discreto {Xn: n= 0,1,…} con espacio de estado discreto s= {0,1….} que sin pérdida de generalidad supondremos que consta de los primeros enteros a partir del cero que satisface la propiedad de markov.

Esto es para cualquier estado para X0 e X1 hasta Xn+1 y para cualquier valor de n a partir de cero la probabilidad de que Xn+1 tome el valor de X n+1 dado que el proceso ha pasado por los estados X0,  X1 hasta Xn  es simplemente la probabilidad del mismo evento dado Xn = Xn .

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