La necesidad de la demostracuon en geometria

[pic 1]

LA NECESIDAD DE LA DEMOSTRACIÓN EN GEOMETRÍA

José Roberto Arredondo gonzalez

Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla

Maestría en educación matemática

Materia: Geometría euclidiana

Asesor :José Martin Estrada Analco

El estudio de la geometría hoy en día se ha convertido en una necesidad para el aprendizaje de los alumnos en los diferentes niveles, es interesante considerar las implicaciones que esta rama de la matemática tiene, aunque no lo parezca a diario los estudiantes en distintos se enfrentan a situaciones donde es posible aplicar las distintas herramientas que la geometría nos proporciona, podrían citarse algunos ejemplos muy comunes tales como medir la altura de un edificio escolar a partir de la sombra que este proyecta, o deducir los puntos de un segmento,o  la dirección de un  vector,  y la demostración de la congruencia de dos triángulos, etc.

Que aunque parecieran ser ejemplos muy comunes del salón de clases pueden tener cierto impacto en aquello que un estudiante en el caso de los nivel media superior pudiese aplicar en diversos ámbitos de su vida cotidiana como puede ser en la construcción de una estructura parecida a una rampa inclinada  que pudiese utilizarse para el acceso de algún automóvil o persona, en el diseño de piezas o estructuras que se pudiesen ensamblar para crear algún tipo de máquina, etc. lo importante que se debe destacar aquí es que el uso de esta disciplina permite al en este nivel desarrollar ciertas habilidades que se ven reflejadas en su capacidad de plantear y demostrar ciertos tipos e problemas.

Pero para  lograr esto último se debe de conocer las reglas, y propiedades que permitan generar las hipótesis adecuadas que ayuden a un estudiante demostrar aquello que se le pudiese estar proponiendo, para ello primero este debe ser capaz de  definir desde su aspecto más general ¿Qué es la geometría?, y aunque existen diversas definiciones aceptadas muchos concuerdan es que esta  es la rama de la matemáticas que se encarga de estudiar las propiedades y las medidas de una figura en un plano o en un espacio, la cual sirve para representar distintos aspectos de la realidad apelando a los denominados sistemas formales o axiomáticos (compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) mejor conocido como una demostración.

Lo anteriormente mencionado requiere por parte de quien lo aplica un cierto dominio avanzado de algunas de algunas reglas y propiedades que la misma geometría propone, conocimientos que en ocasiones los estudiantes de cualquier nivel educativo no suelen tener del todo desarrolladas aspectos pueden desencadenar  que los planteamientos que estos propongan se encuentren totalmente alejados de la realidad, llevándolos a cometer errores que pueden dejarles conocimientos erróneos de aquello que se desea demostrar donde la experiencia que se adquiere se ve marcada más por una frustración que por un aprendizaje de tipo significativo.

LA IMPORTANCIA DE LA DEMOSTRACIÓN EN LA GEOMETRÍA

Lo anteriormente dicho puede ser el origen de muchas  de las problemáticas que los jóvenes de nivel media superior suelen tener en torno a poder realizar una demostración en geometría, donde es importante desde un principio dejar en claro que una demostración. Fetisov (1980) define en su libro la demostración en geometría que esta parte de  una cadena de deducciones a través de las cuales se busca la veracidad de una proposición que debe probarse a partir de axiomas y preposiciones previamente establecidas. En donde el uso de estas propiedades se vuelve un aspecto fundamental del procedimiento que se debe llevar a cabo para poder llegar a una conclusión que pueda satisfacer diversos tipos de problemas.

Pero es inportante mencionar que la demostración en si misma responde a diversos tipos de problemas de la  geometría y en su utilización, dependiendo lo que se quiera comprobar suele cambiar de un método de  tipo directo a uno de tipo indirecto adaptándose a ciertas propensiones, en donde los razonamientos que se realicen pueden estar orientados a verificar la validez de lo que se busca sin perder de vista que está a parte de una serie de procesos que permiten inferir supuestos  que al final se llegan a convertir en una conclusión que logre responder a las preguntas que el alumno se plantee en donde el método a utilizar pude de ser de manera inductiva o deductiva (método científico).

Ya habiendo analizado este aspecto lo que queda es desglosar algunos aspectos importantes sobre el uso de la demostración en la geometría, en primer lugar  al demostrar algo se debe de tener cuidado con aquello que a veces parece obvio, esto en el entendido de que en ocasiones se presentan ciertas preposiciones que pueden tener condiciones que las hicieran parecer completamente obvias e irrefutables por si solas, sin embargo para poder llegar a una conclusión que sea válida dicha preposición debe de estar sostenida no solo por lo obvio, sino también en las habilidades de pensar y de razonar, ya que ambas habilidades son necesarias para que se pueda dar la validez de aquello que se pretende demostrar. Fetisof (1980) sostiene que existen teoremas en geometría que realmente son tan obvios que realmente podrían aceptarse sin demostración sin embargo dentro de esta misma postura hace hincapié en lo siguiente sin embargo en una ciencia exacta, por lo general no se puede confiar en lo que es obvio por que el concepto es muy vago y lo que parece obvio para una persona puede ser bastante dudoso para otra.

Una interpretación más sencilla del párrafo anterior es que se debe de tener cuidado con este tipo de preposiciones, pues el concepto en sí mismo no da la certeza de que sea válido o que cumpla con las condiciones necesaria para satisfacer ciertos problemas, en especial cuando se trabaja con casos particulares en donde específicamente hablando de una demostración rigurosa de un teorema no depende de la apariencia ocasional del mismo sino demuestra que es válido para las condiciones que este pueda proponer pues una demostración construida correctamente solo se apoya en axiomas y preposiciones previamente comprobadas y no en lo que es obvio (Fetisof 1980).

Para finalizar el análisis de este primer este aspecto se dirá que una demostración siempre es necesaria para crear generalidades de la aplicación de una cierta preposición en ciertos casos en particular, transformándola así misma en un sistema metódico de conocimientos que permita a un estudiante el poder encontrar relaciones entre distintas propiedades espaciales de figuras o cuerpos geométricos.

LA CONSTRUCCIÓN DE LA DEMOSTRACIÓN

Algo más que se debe de tener en cuenta de todo tipo de demostraciones es que el razonamiento que se lleva a cabo para validarlas debe de ser el adecuado, pues su naturaleza misma como se ha mencionado antes parte de una serie de deducciones lógicas cuya veracidad o falsedad determinaran si es no correcta, donde aplicación de ciertas leyes o propiedades se convierten en una piedra angular para poder llegar a las conclusiones más adecuadas, de aquí surge la verdadera importancia de que un estudiante este estrechamente familiarizado con los conceptos, teorías, propiedades y métodos que le permitan desarrollar las relaciones necesarias entre los distintos conceptos geométricos para poder llegar a lo que podría denominarse un razonamiento correcto.

...