MATRICES

Introducción

El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos matemáticos utilizados para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias sociales, las ingenierías, la economía, la física, la estadística y las diferentes ramas de las matemáticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo numérico y, por supuesto, el álgebra.

En este math-block presentamos algunos tipos de matrices, analizamos las principales operaciones con matrices y damos algunas aplicaciones del álgebra de matrices. Para completar el estudio sobre este tema se presentan los determinantes.

El concepto de determinante de una matriz cuadrada tiene una gran relevancia dentro de la teoría de matrices. Los determinantes resultan de gran utilidad a la hora de resolver determinados sistemas de ecuaciones lineales (los llamados sistemas de Cramer), discutir la existencia de solución de sistemas de ecuaciones lineales generales (mediante el concepto de rango de una matriz y del Teorema de Rouché Frobenious), y analizar la dependencia lineal de un conjunto de vectores.

Los campos de aplicación de la teoría de los determinantes y, en general, de la teoría de matrices son muy amplios, y abarcan desde las más clásicas aplicaciones en las áreas de la física, la economía, e ingeniería hasta aplicaciones más recientes como la generación de gráficos por ordenador, la teoría de la información, y la criptografía.

DEFINICION DE MATRIZ

ORDEN DE UNA MATRIZ

Una matriz que tenga m filas y n columnas se denomina matriz de orden m x n. La matriz A es de orden 3 x 3 (pero nunca pensemos que es de orden 9).

El orden nos indica el número de filas y de columnas que tiene un matriz, es decir, una matriz de orden p x q significa que tiene p filas y g columnas.

Ejemplo:

La matriz 3 -1 4 es de orden 2 x 3 porque tiene 2 filas

2 0 1 y 3 columnas.

Una matriz con una fila y n columnas es un vector en 1Rn .

Ejemplo:

A = (a11, a12, a13) es un vector en 1R3.

B = (b11, b12, …. b32nn) es un vector en 1Rn.

De forma similar, si tenemos una matriz con m filas y una sola columna entonces tenemos un vector en 1Rn.

Ejemplos:

a11

A = a12 es un vector en 1R3.

a13

TIPOS DE MATRICES:

Matriz fila: Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Ejemplo:

Matriz columna: La matriz columna tiene una sola columna

Ejemplo:

Matriz cuadrada: La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Ejemplo:

Matriz nula: En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Ejemplo:

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

Ejemplo:

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α •A)t = α• At

(A • B)t = Bt • At

Matriz opuesta: La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.

Ejemplo:

Matriz triangular: Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.

Ejemplo:

IGUALDAD DE MATRICES

Definición.- Las matrices A=[a ij ] y B=[b ij ] son iguales si y sólo si tienen el mismo orden, además a ij = b ij para cada i y cada j (esto es, entradas correspondientes iguales)

SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES

La suma de dos matrices y de la misma dimensión, es otra matriz de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico . Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión. La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

LAS PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES

• (propiedad asociativa)

• (propiedad conmutativa)

• (0 es la matriz nula)

• La matriz , que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que .

La diferencia de matrices A y B se representa por A-B, y se define como:

PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR

El producto de una matriz por un número real k es otra matriz de la misma dimensión que A y tal que cada elemento de se obtiene multiplicando por k, es decir, .

El producto de la matriz A por el número real k se designa por . Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.

Algunas propiedades del producto de una matriz por un escalar son las siguientes:

• (1ra propiedad distributiva)

• (2da propiedad distributiva)

• (propiedad asociativa mixta)

• (elemento unidad)

De forma similar se define la suma y la diferencia de una matriz por un escalar.

PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA.

Sean A una matriz con una fila y n columnas y B una matriz con n filas y una columna.

El producto de las matrices A y B (AB) es otra matriz con una fila y una columna cuyo único elemento es: c = a1b1 + a2b2 + ... + anbn. Es decir: AB=(c)= .

Hay que hacer notar que para poder multiplicar A y B debe suceder que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B.

 Sean una matriz con una fila y 4 columnas y una matriz con 4 filas y una columna.

AB = [26 + (-3)7 + 4(-8) + 59] = (4) que es una matriz de orden 1x1 con un único elemento, el 4.

PRODUCTO DE DOS MATRICE

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

Am x n x Bn x p = Cm x p

El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

MATRIZ INVERSA POR EL METODO DE GAUS

Dada una matriz cuadrada A de orden n, si existe otra matriz de orden n tal que al multiplicarla por A de la matriz identidad, diremos que ésta es la inversa de A y la indicaremos A-1.

A•A-1=A-1•A=In

Para calcular la matriz

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