Matrices

cuales, ya se desplazar por otros conocimientos.

Carta número 12.

Pues trata un tema muy importante, el idioma, tanto escrito como hablado, y el respeto por la lengua natural, ya que es importante para ejercer cualquier profesión, y actualmente el hecho de dominar dos o más idiomas es importantísimo ya que eso habla de nuestra preparación y nos da ventaja contra otros ingenieros que no manejen más idiomas.

Carta número 13.

El tema es el compromiso social de un ingeniero, ya que debe de ser comprometido, y buscar el beneficio de toda la sociedad antes que el reconocimiento personal, aunque también es importante, el trabajo de un ingeniero se basa en el buscar la solución a un problema y sacarle todo el provecho.

Carta número 14.

Habla sobre el compromiso social que debe de tener un ingeniero, pero ahora apoyándose en el uso de la tecnología, para encontrar soluciones mas estudiadas, acerca de lo que mejor debe de ayudar.

Carta número 15.

Aquí se resume todo, ya que recuerda que ahora que estudiamos para ser ingenieros debemos de perseverar en nuestros estudios este espíritu, el cual lograra que nuestros planes se hagan realidad, y que no debemos desanimarnos si en ocasiones se nos hace duro el camino, y es que no se puede llegar a la meta sin hacer un esfuerzo antes.MATRIZ

Una matriz de orden (tamaño) mxn sobre el campo de los complejos es un arreglo rectangular de la forma

[■(■(a_11&a_12&…@a_21&a_22&…@⋮&⋮&…)&■(a_1n@a_2n@⋮)@■(a_m1&a_m2&…)&a_mn )]

con m renglones y n columnas, donde los a_ij ∈ C son sus elementos.

Comúnmente se representa a las matrices con letras mayúsculas y a sus elementos con letras minúsculas. En forma abreviada, la matriz anterior puede expresarse como

A = (a_ij) donde i = 1, 2, … , m

j = 1, 2, … , n

Los subíndices i, j indican, respectivamente, el renglón y la columna en que se encuentra el elemento a_ij

IGUALDAD DE MATRICES

Sean A = (a_ij) y B = (b_ij) dos matrices del mismo orden, entonces

A = B ↔ a_ij = b_ij ∀ i, j

SUMA DE MATRICES

Sean A = (a_ij) y B = (b_ij) dos matrices del mismo orden mxn. La suma A + B de dichas matrices es una nueva matriz C = (c_ij) de orden mxn tal que c_ij= a_ij + b_ij.

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES

Sean A, B y C tres matrices del mismo orden mxn. Se cumple siempre que:

(A + B) + C = A + (B + C) asociatividad

A + B = B + A conmutatividad

∃ 0 = (c_ij), c_ij = 0 ∀ i,j de orden mxn llamada matriz nula tal que A + 0 = 0 + A = A

∀ A = (a_ij) de orden mxn ∃ - A = (-a_ij) de orden mxn llamada simétrica de A tal que A + (-A) = (-A) + A = 0

A (B + C) = AB + AC distributividad

RESTA DE MATRICES

Se define a partir de la suma de matrices como

A – B = A + (-B). Para que dos matrices sean conformables para la resta deben serlo para la suma.

PRODUCTO POR UN ESCALAR

Sean A = (a_ij) una matriz de orden mxn y α ε C un escalar. El producto α por A es la matriz

α A = (α〖 a〗_ij).

PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR UN ESCALAR

Sean A y B dos matrices del mismo orden y α, β dos números complejos. Se cumple siempre que:

(α + β) A = αA + βA

α (A + B) = αA + αB

α (βA) = (αβ) A

1∙A = A

PRODUCTO DE MATRICES

Para que el producto AB pueda efectuarse, el número de columnas n de la matriz A debe ser el mismo que el número de renglones de la matriz B. Simbólicamente

Sean A = (a_ij) (i = 1, 2, …, m y j = 1, 2, …, n)

y B = (b_ij) (i = 1, 2, …, n y j = 1, 2, …, p)

dos matrices de orden mxn y nxp respectivamente.

El producto AB es una matriz

C = (c_ij) (i = 1, 2, …, m y j = 1, 2, …, p)

de orden mxp cuyos elementos están dados por

c_ij = ∑_( k=1)^( n)▒〖 a_ik b_kj 〗

Cuando el número de columnas de A es igual al número de renglones de B se dice que las matrices A y B son conformables para la multiplicación.

En general, la multiplicación de matrices no es conmutativa. Incluso en muchas ocasiones se tiene que dos matrices A y B son conformables para multiplicarse en ese orden mientras que no son conformables para multiplicarse en el orden contrario.

Para el caso del producto AB se dice que A premultiplica a B o bien que B postmultiplica a A.

ASOCIATIVIDAD EN LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

La multiplicación de matrices, cuando puede efectuarse, es asociativa. Simbólicamente

Sean A = 〖(a_ij)〗_mxn B = 〖(b_jk)〗_nxp C = 〖(c_kl)〗_pxq

tres matrices de orden mxn, nxp y pxq, respectivamente

(AB)C = A(BC)

MATRIZ CUADRADA

Si una matriz A es de orden nxn, se dice que A es una matriz cuadrada de orden n.

MATRIZ IDENTIDAD

Se llama matriz identidad de orden n a la matriz cuadrada de la forma

[■(■(1&0&…@0&1&…@⋮&⋮&…)&■(0@0@⋮)@■(0&0&…)&1)]

Esta matriz puede expresarse en forma abreviada como

I_n=(δ_ij) donde δ_ij = 1 si i = j

δ_ij = 0 si i ≠ j

TEOREMA

Para toda matriz A de orden mxn se tiene que

I_m A = A

A I_n = A

MATRIZ INVERSA

Si A y P son dos matrices cuadradas de orden n tal que PA = AP = I_n , a la matriz P se le llama matriz inversa de A.

Si A es una matriz de orden mxn, existe su inversa si y sólo si m = n = R(A). Una matriz cuadrada de orden n y rango menor que n no tiene inversa.

Si una matriz A tiene inversa, se dice que es NO singular y a su inversa se le representa con A^(-1).

La inversa de una matriz es única y el producto de dos matrices no singulares es otra matriz no singular.

A las matrices que no tienen inversa se les llama matrices singulares.

La inversa de una matriz A no singular puede obtenerse si se aplica a la matriz identidad I la misma secuencia de transformaciones elementales por renglón que se utilizan para transformar la matriz A en la matriz I.

MATRICES TRIANGULARES

Sea A = (a_ij) una matriz de orden nxn con elementos en C.

A es triangular superior si a_ij = 0 para i > j

A es triangular inferior si a_ij = 0 para i < j

PROPIEDADES.- Si A y B son

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