Matrices

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describirsistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar lasaplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Ejemplo[editar]

Dada la matriz

es una matriz de tamaño . La entrada es 7.

La matriz

es una matriz de tamaño : un vector fila con 9 entradas.

Operaciones básicas[editar]

Las operaciones que se pueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones en álgebra lineal. De ese modo las operaciones, o su forma muy particular de ser implementadas, no son únicas.

Suma o adición[editar]

Sean . Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación binaria tal que y donde en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la entrada es igual a la suma de los elementos y lo cual es .

Veamos un ejemplo más explícito. Sea

No es necesario que las matrices sean cuadradas:

A la luz de éstos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamaño. La suma de matrices en el caso de que las entradas estén en un campo serán la asociatividad, la conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. Ésto es así ya que éstas son propiedades de los campos en los que están las entradas de la matriz. A continuación se presentan las propiedades.

Propiedades[editar]

Sean , donde es un campo entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación binaria

Asociatividad

Demostración. Dada la definición de la operación binaria se sigue el resultado ya que debido a que para todo .

Conmutatividad

Demostración Dada la definición de la operación binaria se sigue el resultado ya que debido a que para todo .

Existencia del elemento neutro aditivo

Existe tal que

Demostración Tómese tal que para cualquier (dónde este último es el elemento neutro aditivo en el campo, el cual existe necesariamente). Entonces para cualquier se sigue que ya que para cualquier , dado que las entradas están en un campo.

Existencia del inverso aditivo

Existe tal que

a esta matriz se le denota por .

Demostración Dada tómese tal que . Entonces ; luego, por las propiedades de campo donde es el inverso aditivo de en el campo para cualquier .

En efecto, éstas propiedades dependen el conjunto en el que estén las entradas, como se ha dicho antes, aunque en las aplicaciones generalmente los campos usados son (los números reales) y (los números complejos).

Por como se definió la operación binaria adición se dice que ésta operación es una operación interna por lo que se cumple intrínsecamente la propiedad de que es cerrado bajo adición. Con éstas

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