MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS

MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS

1. CUESTIONES FUNDAMENTALES EN MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS

1. Endogeneidad y causalidad

Para la distinción entre las variables exógenas y endógenas se puede determinar de manera económica útil en términos de si una variable del modelo podría esperarse que variara razonablemente de forma “autónoma” independientemente de las otras variables del modelo. Sin embargo, esta clasificación es de utilidad limitada en macroeconomía, donde casi ninguna variable puede decirse que sea exógena en la forma en la que la mayoría de los observadores entendería el término. Por ello los analistas extraen la distinción buscada con criterios estadísticos.

En el contexto de un modelo existe la tentación de caracterizar la endogeneidad en términos de la correlación con las perturbaciones en las ecuaciones; sin embargo, esta es una distinción falsa.

En referencia a las aplicaciones para series temporales (aunque la noción se extiende también a datos de sección cruzada), la variable  se denomina predeterminada en el modelo, si  es independiente de todas las perturbaciones estructurales posteriores. Las variables que están predeterminadas en un modelo pueden ser tratadas, al menos asintóticamente, como si fueran exógenas, en el sentido de que pueden obtenerse estimadores consistentes cuando aparecen como regresores.[pic 1][pic 2]

1. Notación general para modelos de ecuaciones simultáneas

La forma estructural del modelo es:

[pic 3]

[pic 4]

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Hay M ecuaciones y M variables endógenas, designadas por . Hay K variables exógenas, , las cuales pueden incluir valores predeterminados de  también. El primer elemento de  será frecuentemente la constante 1. Finalmente  son las perturbaciones estructurales. El subíndice  se utilizará para indicar las observaciones, .[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

En términos matriciales, el sistema puede expresarse

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O bien

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Cada columna de las matrices de parámetros es el vector de coeficientes en una ecuación concreta, mientras que cada fila se aplica a una variable específica.

La teoría subyacente implicará un número de restricciones sobre I y B. una de las variables en cada ecuación se denomina la variable dependiente y por tanto, su coeficiente en el modelo será I. Así, habrá al menos un “I” en cada columna de V. Ésta normalización no es una restricción sustantiva.

Elegir una “variable dependiente” simplemente cambia esta indeterminación. Si hay identidades, las columnas correspondientes de V y B se conocerán completamente, y no habrá perturbaciones en esta ecuación. Al no aparecer todas las variables en todas las ecuaciones, algunos de los parámetros serán cero.

CASO ESPECIAL:

Si V es una matriz triangular superior, el sistema se dice que es triangular. En este caso, el modelo es de la forma:

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La determinación conjunta de las variables en este modelo es recursiva. La primera está completamente determinada por los factores exógenos. Así, dada la primera, la segunda se determina igualmente, y así sucesivamente. Los aspectos temporales de algunos de los procesos en la economía sugieren esta forma de modelo.

1. Sistemas de ecuaciones no lineales:

Si la no linealidad en un sistema de ecuaciones aparece a causa de no linealidades en las variables exógenas, o de no linealidades en los parámetros que surgen, digamos a causa de las restricciones, entonces, mediante una redefinición apropiada de los componentes, podemos reproducir el modelo lineal. La mayor complicación aparece en los modelos en los que las variables endógenas aparecen de forma no lineal en las ecuaciones. En el sistema de ecuaciones general.

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No hay seguridad de que la forma reducida , exista para todos los valores de , pero por construcción, incluso si ocurre, será una función no lineal de las variables exógenas y las perturbaciones. La dificultad práctica que surge, e que puede no existir un modo factible de construir un estimador consistente de los parámetros, basado en variables instrumentales que existan dentro de la estructura del modelo. [pic 21][pic 22]

1.  EL PROBLEMA DE LA IDENTIFICACIÓN

Se tiene disponible cierto volumen de información sobre el cual basar cualquier inferencia sobre su estructura subyacente. Si más de una teoría es consistente con los mismos “datos” se dice que son equivalentes observacionalmente, y no hay modo de diferenciarlas. La estructura se dice que está no identificada.

1. Condiciones de rango y de orden para la identificación

Los parámetros estructurales desconocidos son:

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Los parámetros de la forma reducida conocidos son:

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Simplemente contando los parámetros de las formas estructural y reducida nos da un exceso de:

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Lo cual es el número de elementos desconocidos de T. Sin más información, la identificación es imposible. La información adicional proviene en varias formas.

1. Normalizaciones: en cada ecuación, una variable tiene un 1 como coeficiente. Esta normalización es una escala necesaria de la ecuación, que lógicamente es equivalente a colocar una variable en la parte izquierda de la regresión. Para propósitos de identificación, la elección entre las variables endógenas es arbitraria. La normalización no identifica la variable dependiente en ningún sentido formal o causal.
2. Identidades: las definiciones de las variables o las condiciones de equilibrio implican que todos los coeficientes de una ecuación particular son conocidos. No hay problema de identificación con respecto a las identidades. Pueden tratarse como ecuaciones adiciones en el modelo o incorporadas en el modelo a priori.

La considerable información extra – muestral que se utilizará en la identificación consistirá en lo siguiente:

1. Exclusiones: la omisión de variables de una ecuación coloca ceros en B y V.
2. Restricciones no lineales: las restricciones en los parámetros estructurales pueden utilizarse también para rechazar estructuras falsas.
3. Restricciones en la matriz de covarianzas de las perturbaciones: en la identificación de un modelo, son semejantes a las restricciones en los parámetros de las pendientes.
4. No linealidades: en muchos modelos, las variables y/ o los parámetros aparecen de modo no lineal. Aunque esto frecuentemente complica el análisis, las no linealidades ayudan a la identificación.

Para formalizar los criterios de identificación requerimos una notación para una sola ecuación. Los coeficientes de la ecuación j-ésima están contenidos en las j-ésimas columnas de V y B. la ecuación j-ésima es:

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La ecuación j puede expresarse como

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Las exclusiones implican que   y . Así [pic 31][pic 32]

  y  [pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

Condición de orden para la identificación de la ecuación j.

[pic 37]

El número de variables exógenas excluidas de la ecuación j debe ser almenos tan alto como el número de variables endógenas incluidas en la ecuación j.

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