MODELOS MATEMÁTICOS EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

FUNDAMENTOS DE FENÓMENOS DE TRANSPORTE

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN #2

MODELOS MATEMÁTICOS EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

Al aplicar las leyes físicas a un sistema en específico es posible desarrollar un modelo matemático que describa al sistema. Tal sistema puede incluir parámetros desconocidos, los cuales deben evaluarse mediante pruebas reales. Sin embargo, algunas veces las leyes no están completamente definidas, y la formulación de un modelo matemático puede resultar imposible. En este caso se puede utilizar un procedimiento de modelado experimental. En este procedimiento se somete al sistema a un conjunto de entradas conocidas y se miden sus salidas.

A partir de las relaciones de entrada y salida se deriva el modelo matemático.

Es importante notar que los resultados obtenidos en el análisis son válidos en la medida en que el modelo se aproxime al sistema físico dado.

La rapidez con la cual una computadora realiza las operaciones aritméticas nos permite incluir cientos de ecuaciones para describir un sistema y construir un modelo exacto, pero muy complicado; por lo que es preferible desarrollar un modelo razonablemente simplificado, y para ello se necesita decidir cuáles variables y relaciones físicas pueden despreciarse y cuáles son cruciales en la exactitud del modelo. Por esto, se deben despreciar cualesquiera parámetros distribuidos y las no linealidades que pueden estar presentes en el sistema físico.

Ningún modelo matemático puede representar cualquier componente o sistema físico con precisión, ya que se involucran aproximaciones y suposiciones que restringen el nivel de validez del modelo.

El procedimiento para la elaboración de un modelo matemático es el siguiente:

1) Dibujar un diagrama esquemático del sistema y definir las variables.

2) Utilizando leyes físicas, escribir ecuaciones para cada componente, combinándolos de acuerdo con el diagrama del sistema.

3) Para comprobar la validez del modelo, se comparan con resultados experimentales.

Cabe mencionar que, para la solución de problemas de cantidad de movimiento, son sumamente importantes las características geométricas, que son variables dependientes del problema y en general se representan como escalares, vectores y tensores, como es en el caso de las propiedades de flujo como la velocidad o el esfuerzo de corte, donde es necesaria una dirección y un signo.

Se ha realizado en clase el procedimiento anteriormente mencionado: a partir de un diagrama se determinan las condiciones frontera, así como otras variables mediante el análisis geométrico del sistema de acuerdo a las coordenadas que faciliten la solución, pero por ahora se abordará desde el punto de vista computacional.

Un análisis computacional completo consta de las siguientes etapas:

1) Formulación del problema y planteamiento de las ecuaciones que lo gobiernan.

2) Establecimiento de las condiciones frontera.

3) La generación de una malla de volúmenes finitos.

4) Solución de ecuaciones.

5) Análisis de resultados.

El primer paso en la aplicación de la dinámica de fluidos computacional, consiste en la “discretización espacial” del dominio, para posteriormente calcular sobre la misma aproximación numérica. Existen muchos métodos de discretización del problema. A grandes rasgos podemos clasificarlos en 3 categorías principales:

1) Diferencias finitas.

2) Volúmenes finitos

3) Elementos finitos.

Todos estos métodos requieren una previa discretización geométrica para poder analizar las ecuaciones que gobiernan el fluido. Básicamente existen dos tipos de mallado:

• Mallados estructurados:

Cada punto de la malla está inequívocamente identificado por los índices i, j, k, en coordenadas cartesianas. Las celdas de malla son cuadriláteros en 2D y hexaedros en 3D.

Su principal ventaja reside en la ordenación de los elementos en memoria, ya que, de esta forma, el acceso a las celdas vecinas resulta muy rápido, fácil y sin más que sumar o restar un valor del índice correspondiente.

Se pueden representar en sistema cartesiano o curvilíneo. En el primer caso, las líneas que configuran las celdas son siempre paralelas al sistema de ejes coordenados; por el contrario, en los sistemas curvilíneos, el sistema de coordenadas es deformado para adaptarse a la geometría del objeto de estudio.

Por otro lado, pueden clasificarse en ortogonales (todas las líneas que la configuran se cortan entre sí con un ángulo de 90°) y no ortogonales.

Existe otra metodología, llamada técnica de la quimera, cuya idea básica es generar mallas separadas alrededor de cada una de las entidades geométricas en el dominio. Después, las mallas se combinan de forma que se produzcan solapes de elementos. La ventaja de la metodología es que se pueden generar mallas particulares independientes

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