MULTIVARIABLE

1- Identifique primeramente a qué clase de superficie pertenece la siguiente ecuación, después realice un análisis a través del método de trazas y secciones transversales y por ultimo grafique la superficie. Si es posible utilice cualquier software de graficas en tres dimensiones.

a- z^2-6x^2-8y^2+24=0

Llevando a la forma canónica:

-6x^2-8y^2+z^2=-24

〖〖(-6x〗^(2 )-8y〗^(2 )+z^2=-24) /-24

〖x^(2 )/4+〗^ y^(2 )/3-z^(2 )/24=1

〖x^(2 )/2^(2 ) +〗^ y^(2 )/(√(3^ ))^2 -z^(2 )/((2√6 )^2 )=1

Por lo anterior tenemos que la superficie descrita por la ecuación es un hiperboloide elíptico de una hoja cuyo eje es el eje z.

A continuación se aplican el método de trazas y el de secciones transversales.

TRAZAS

Para x=0 se tiene la ecuación de una hipérbola cuyo eje transverso es el ‘y’

y^2/3- z^2/24=1

Para y=0 se tiene la ecuación de una hipérbola cuyo eje transverso es el ‘x’

x^2/4- z^2/24=1

Para z=0 se tiene la ecuación de una elipse.

x^2/4+ y^2/3=1

SECCIONES TRANSVERSALES

Con x=k.

y^2/3- z^2/24=1- k^2/4

Lo anterior representa a una familia de hipérbolas de tal manera que si:

|k| < 2 se forman hipérbolas que abren en y

|k| > 2 se forman hipérbolas que abren z

|k| = 2 se degeneran las hipérbolas, en dos rectas:

x^2/3= z^2/24 ; z= ±2√2 x

Con y=k

x^2/4- z^2/24=1- k^2/3

Donde al igual que el caso anterior tenemos tres posibilidades:

|k| < √3 Se forman hipérbolas que abren en x

|k| > √3 Se forman hipérbolas que abren en el eje z

|k| = √3 se degeneran las hipérbolas, en dos rectas:

x^2/4= z^2/24 ; z= ±√6 x

Haciendo z=k

x^2/4+ y^2/3=1+ k^2/24

Se forma familias de elipses con semiejes cada vez más grandes conforme aumente |k|.

d- 8x^2-y^2+8z=0

Expresándola en la forma canoníca:

〖〖(8x〗^(2 )-y〗^(2 )=-8z) /-8

〖〖-x〗^(2 )+〗^ y^(2 )/8=z

〖-x^(2 )/1^(2 ) +〗^ y^(2 )/(2√2)^2 =z/1

De lo cual podemos inferir que la ecuación describe a un paraboloide hiperbólico cuya extensión la realiza sobre el eje 'z^'.

TRAZAS

Con x=0 la ecuación e la de una parábola que se extiende en el semieje positivo de las 'z'.

z=y^2/8

Para y=0 se forman una parábola que abre en el semieje negativo de las 'z'.

z=-x^(2 )

Para z=0 se forman dos rectas que se intersecan en el origen:

〖-x〗^(2 )+ y^2/8=0

(y-√8 x)(y+√8 x)=0

y=± 2√2 x

SECCIONES TRANSVERSALES

Para x=k las intersecciones de los planos con las superficies forman familias de parábolas que abren en el semieje positivo z.

z= y^2/8 〖- k〗^(2 )

.

Para y=k las intersecciones de los planos con las superficies forman familias de parábolas que abren en el semieje negativo z.

z= 〖- x〗^(2 )+k^2/8

Para z=k los planos forman al intersecarse con la superficie las hipérbolas cuyos ejes transversos son paralelos al

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