Multivariable

[pic 1]

Cálculo Multivariable

Informe N°3

Profesor(a):                                                                         Integrantes:

Eduardo Olave. (sec.4)

                                                                                                    Gerardo González.

Guillermo Herrera.

Joaquín Zanelli

Tomás Walker.

Contents

Resumen Ejecutivo        

Introducción        

Planteamiento y desarollo del problema        

Conclusión        

Bibliografía        

Resumen Ejecutivo

Este taller consiste en realizar, en primer lugar, una aproximación de función que describa una curva en el espacio, y en segundo lugar, elaborar una investigación del método de la Integral Doble de Simpson, se explicará de que trata, qué problemas resuelve y cuáles son las condiciones en las que se pueden aplicar para luego aplicar este método en la función obtenida, con el fin de calcular el volumen que se genera bajo esta. El primer paso que se hará será utilizando Excel, tomando cada punto entregado en el espacio de la forma, h(x,y) = z, para luego generar una función en plano XZ, otra en plano YZ y luego juntar ambas. Para el método de Simpson, se va a explicar en qué consiste el método de la Integral Doble de Simpson, dejando en claro para que se usa y que problemas resuelve y a través de un código en programa matemático Octave, implementar un código que calcule con este método el volumen de nuestra función.

Introducción

Para este último taller, se nos pide calcular el volumen de un supuesto estadio para resolver temas de climatización. Lo particular de este estadio es que su techo no es plano, sino que varía su altura respecto del suelo, y para poder calcular el volumen la altura es necesaria. Para poder resolver este taller, tendremos que utilizar distintos procesos matemáticos, tales como la interpolación o mínimos cuadrados, la cual sirve para calcular una función continua  a partir de un conjunto de los pares ordenados y una familia de funciones. Además de esto, tendremos que integrar la función obtenida, utilizando el método de Simpson para estimar el valor bajo la superficie (la función calculada por mínimos cuadrados)

Planteamiento y desarollo del problema

Se define  el techo de un estadio a traves de una funcion h(x,y), donde las alturas que se tienen son:

• h(0,0) = 40
• h(±100,0) = 0
• h(0, ±80) = 0
• h(±60,0) = 32
• h(0, ±64) = 24

Con estas alturas, utilizando metodo de minimos cuadrados (u otro) se debe definir la función h(x,y), para luego calcular utilizando integrales, el volumen del interior del estadio.

Desarrollo (2.1)

En primer lugar, se tabularon los datos de las alturas en una tabla en excel, respecto a los ejes x, y, z.

Luego, con el fin de conocer la figura que están trazando estas alturas, se grafica cada punto, obteniéndose el siguiente grafico en el espacio:

[pic 2]

Como se puede observar, todos los puntos entregados se encuentran ya sea en los planos XZ o YZ, por lo que podemos de esta forma utilizar aquellos puntos donde y=0 y x=0, y graficarlos en planos XZ e YZ respectivamente, para  luego realizar dos interpolaciones polinomicas de grado 2 (que es la que más se asemejan a ambos graficos) donde se obtienen las funciones f(x) = z, y g(y) = z.

Puntos en plano XZ:[pic 3]

Puntos en plano YZ:[pic 4]

Las interpolaciones entregaron las funciones f(x) = -0,0043x2 - 3E-16x + 44,204 y g(y) = -0,0063y2 - 1E-15y + 44,142. Con estas dos funciones, podemos juntarlas, ajustar el intercepto con el eje z, y crear la función h(x,y) la cual resulta ser una función que reprenenta una altura z para cada x e y.

Esta resulta ser:

h(x,y) = -0,0043x2 - 3E-16x -0,0063y2 - 1E-15y + 44

Si se comparan en una tabla los valores de z para cada x,y entregados y los que entrega la función h(x,y), se puede observar que entrega un valor con una diferencia no mayor a 4 unidades, algo aceptable al momento de aproximar curvas en el espacio.

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