Mate

2.- Demostrar que las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas y resolverlas. (25%).

1 ydx+xdy=0

2 xdx+9ydy=0

3 y^3 dx+3xy^2 dy=0

4 xdy+y^2 dx=0

5 4dx+x^(-1) dy=0

6 (y-1)dx+(x-3)dy=0

7 (2xydx+dy) e^(x^2 )=0

8 2xydy=(x^2+y^2 )dx

ydx+xdy=0

y/M dx+x/N dy

∂M/∂y=1 = ∂N/∂x=1 ∴ ES EXACTA

df/dx=M(x,y) ⇒ df/dx=y

∫▒df=∫▒〖y dx〗

f=y^2/2+g(y)

y+g´(y)=x ⇒ ∫▒〖g´(y)=∫▒〖x-y〗〗

g(y)= 1/2 x^2- 1/2 y^2+c

f=1/2 y^2+ 1/2 x^2- 1/2 y^2+c

Resultado= 1/2 x^2=c

2.- xdx+9ydy=0

x/M dx+9y/N dy

∂M/∂y=0 = ∂N/∂x=0 ∴ ES EXACTA

df/dx=M(x,y) ⇒ df/dx=x

∫▒df=∫▒〖x dx〗

f=x^2/2+g(y)

x+g´(y)=9y ⇒ ∫▒〖g´(y)=∫▒〖9y-x〗〗

g(y)= 9/2 y^2- 1/2 x^2+c

f=1/2 x^2+ 9/2 y^2- 1/2 x^2+c

Resultado= 9/2 y^2=c

3.- y^3 dx+3xy^2 dy=0

y^3/M dx+(3xy^2)/N dy

∂M/∂y=3y^2 = ∂N/∂x=3〖y 〗^2 ∴ ES EXACTA

df/dx=M(x,y) ⇒ df/dx=y^3

∫▒df=∫▒〖y^3 dx〗

f=y^4/4+g(y)

y^3+g´(y)=3xy^2 ⇒ ∫▒〖g´(y)=∫▒(3xy^2-y^3 )dy〗

g(y)=3 (xy^3)/3- 1/4 y^(4 ) = xy^3- 1/4 y^4+c

f=1/4 x^4+ xy^3- 1/4 y^4+c

Resultado= xy^3=c

4.- xdy+y^2 dx=0

x/N dy+y^2/M dx

∂M/∂y=2y = ∂N/∂x=1 ∴ NO ES EXACTA

5.- 4dx+x^(-1) dy=0

4/M dx+x^(-1)/N dy

∂M/∂y=0 = ∂N/∂x= -1x^(-2) ∴ NO ES EXACTA

6.- (y-1)dx+(x-3)dy=0

((y-1))/M dx+((x-3))/N dy

∂M/∂y=1 = ∂N/∂x=1 ∴ ES EXACTA

df/dx=M(x,y) ⇒ df/dx=(y-1)

∫▒df=∫▒〖(y-1) dx〗

f=y^2/2+g(y)

y+g´(y)=(x-3) ⇒ ∫▒〖g´(y)=∫▒〖(x-3)-y dy〗〗

g(y)= 1/2 x^(2 )-1/2 y^(2 )+c

f=1/2 y^2+1/2 x^(2 )-1/2 y^(2 )+c

Resultado= 1/2 x^(2 )=c

7.-(2xydx+dy) e^(x^2 )=0

2xy e^(x^2 ) dx+e^(x^2 ) dy=0

(2xy e^(x^2 ))/M dx+e^(x^2 )/N dy

∂M/∂y=2x e^(x^2 ) = ∂N/∂x=2x e^(x^2 ) ∴ ES EXACTA

De aquí en adelante ya no estoy segura

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