Matematicas Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, y^'=f(x,y), es homogénea si la función f(x,y) es homogénea de orden cero

Al tratar con polinomios de más de una variable, se define el grado de cada término como la suma de los grados de sus variables.

1. Consideremos la función de dos variables (x,y): F(x,y)= 2x^2y –xy^2+4y^3.

Observamos que tenemos verificar lo siguiente:

a. Todos los términos tienen el mismo grado 3.

b. Si multiplicamos ambas variables por el mismo factor t es posible factorizar t

Es posible factorizar x^3:

Es posible factorizar también y^3:

Teorema

Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden Y’=f(x,y)

es homogénea, entonces el cambio de variable y=ux la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.

Demostración:

Al hacer la sustitución obtenemos xu¨+u=f(x,xu)

Pero como f(x,u) es una función homogénea de grado cero tenemos que

de donde

Teorema: existencia de un conjunto fundamental

Existe un conjunto fundamental de soluciones para una ED homogénea de orden n en un intervalo /.

PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS.

verificar si es homogénea con cualquiera de los dos métodos.

inspección o suma de exponentes.

hacer la sustitución de variables.

factorizar y si hay términos iguales, eliminarlos.

aplicar el método por variables separadas.

Integrar

Ejemplo

Ecuaciones diferenciales homogéneas

(xy+y^2+x^2 )dx-x^2 dy=0

M(x,y) =xy+y^2+x^2 N(x,y)=x^2

M(tx,ty)=txty+t^2 y^2+t^2 x^2 N(x,y)=t^2 x^2

=t^2 xy+t^2 y^2+t^2 x^2 =t^2 (x^2 )

=t^2 (xy+y^2+x^2

Por lo tanto es una E.D. homogénea de grado 2.

Sustituyendo utilizando:

y=ux u=y/x

dy=udx+xdu

(x(ux)+(ux)^2+x^2 )dx-x^2 (udx+xdu)=0(ux^2+u^2 x^2+x^2 )dx-x^2 (udx+xdu)=0(u+u^2+1)dx-(1)(udx+xdu)=0(u+u^2+1)dx-(udx+xdu)=0(u+u^2+1)dx-udx-xdu)=0(u^2+1)dx-xdu=0

llegamos a una E.D. de variables separadas.

-xdu=(u^2+1)dx

-1/(u^2+1) du=-1/x dx

-∫▒〖1/(x^2+1) du=-∫▒〖1/x dx〗〗

Eliminamos la “u” sustituyéndolas por u=y/x

-ln⎪u^2+1⎪=-ln⎪x⎪+c-ln⎪(y/x)^2+1⎪+ln⎪x⎪-ln⁡〖c=0〗

-ln⎪y^2/x^2 +1⎪+ln(x/c)=0

-ln⎪(xy^2+x)/(cx^2 )⎪=

Aplicación de Ecuaciones Diferenciles homogénea

Una función homogénea es una función que presenta un comportamiento multiplicativo de escala interesante: si todos los argumentos se multiplican por un factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el grado de la función homogénea

Ecuación diferencial lineal no homogénea

Exponemos la manera de hallar una solución particular de una ecuación diferencial ordinaria lineal, no homogénea, con coeficientes reales constantes y de orden por el método de selección.

Toda función libre de parámetros arbitrarios que satisface que es una ecuacion homogenea se llama solución particular o integral particular de la ecuación; por ejemplo, se puede demostrar directamente que la función constante es una solución particular de la ecuación no homogénea . Si son soluciones de la ecuación en un intervalo Zy y, es cualquier solución particular de la ecuación homogénea en Z, entonces, la combinación lineal

Teoremas de Ecuaciones Diferenciales no hemogeneas

1) Consideremos la ecuación diferencial ordinaria lineal, no homogénea, con coeficientes reales constantes y de orden :

en donde es la variable independiente, la dependiente y representa una función continua de en La correspondiente ecuación homogénea asociada es por tanto

Entonces, todas las soluciones de la ecuación completa (1) se obtienen sumando a una solución particular de esta todas las de la homogénea (2)

2) Sea y(p) cualquier solución particular de una EDO no homogénea en un intervalo /. Y sea y1 (x), y2(x), ..., yk(x) un conjunto fundamental de soluciones de su EDO homogénea asociada, entonces la solución general de la ecuación en un intervalo es y= c1 y1 +c2 y2 +⋯ + ck yk + yp

Donde las ci ,i= 1,2,….,n son constantes arbitrarias

y = c1 y1 + c2 y2 +⋯ + ck yk +yp = yc +yp

La función yp = -(11/12) – ½ x es una solución particular de

y-6y+11y-6y=3x

la solución general es

y=yc+yp=c1e^2x+c3e^3x- (11/12)-(1/2x)

3) Teorema de superposición el teorema de superposición sólo se puede utilizar en el caso de circuitos eléctricos lineales, es decir circuitos formados únicamente por componentes lineales (en los cuales la amplitud de la corriente que los atraviesa es proporcional a la amplitud de la voltaje a sus extremidades).

Ejemplo

Resuelve el sistema

SOLUCIÓN Utiliza el procedimiento de los cinco pasos

1. Resuelve la ecuación para una de las variables (resolveremos aquí la primera ecuación para x) x = 4 -2y

2. Sustituimos x = 4 -2y en la segunda ecuación

2(4 –2y) = -4y +6

8 –4y = -4y +6 Simplificamos

8 –4y +4y = -4y +4y +6 Suma 4y

8 = 6

3. No hay ecuación que resolver. El resultado 8 = 6, nunca es verdadero. Es una contradicción. Puesto que nuestro procedimiento es incorrecto, concluimos que el sistema dado no tiene solución; es inconsistente.

4. Sustituye el valor de la variable x=3 en una de las ecuaciones originales. (aquí lo hacemos en la ecuación x + y = 8. Luego resuelve para la segunda variable 3+y=8 Nuestra solución es el par ordenado (3, 5) ya que y = 5.

5. Comprobamos; cuando x= 3 y y=5; x + y = 8 se convierte en 3 + 5 = 8 y 8=8. Lo cual es verdadero.

Luego para la segunda ecuación, 2x – 3y = -9 se convierte en

2(3) – 3(5) = -9 = 6 – 15 = -9

Resuelve el sistema

1. Resuelve la primera ecuación para x obteniendo: x=4 –2y

2. Sustituye x=4 –2y en 4y +2x= 8

4y +2(4 –2y) = 8

4y +8 –4y = 8 Simplifica

8 = 8

3. No hay ecuación que resolver. Observa que en este caso obtuvimos la proposición verdadera 8 = 8, sin importar cual valor se le asigne a x o a y.

4. No necesitamos el paso 4 debido a que las ecuaciones son dependientes; es decir tienen un número infinito de soluciones.

5. Comprueba; si hacemos x=0 en la ecuación x +2y= 4, obtenemos 2y = 4, o y = 2. De manera semejante, si hacemos x=0 en la ecuación 4y +2x = 8, obtenemos 4y=8, o y = 2, de modo que (0, 2) es una solución para ambas ecuaciones. También puede demostrarse que x=2, y y = 1 satisface ambas ecuaciones. Por lo tanto (2, 1)es otra solución, y así sucesivamente. Nótese que si se divide la segunda ecuación entre dos y se vuelve a acomodar, se obtiene x +2y= 4, la que resulta idéntica para la primera ecuación. De este modo cualquier solución de la primera ecuación también es la solución de la segunda ecuación; es decir la solución consiste en todos los puntos de la ecuación x +2y= 4.

Métodos de Solución

Las ecuaciones fundamentales de la física, la química y la ingeniería son ecuaciones diferenciales parciales. En esta parte vamos a ocuparnos de las ecuaciones

Más usadas en la literatura de las ciencias físicas, que son a su vez muy representativas de las ecuaciones diferenciales parciales lineales en general. Esta secciones tal vez la más limitada de este curso, puesto que la cantidad de material sobre este tema es muy basto. Aqui nos limitaremos a utilizar algunos métodos para la resolución de estas ecuaciones diferenciales en los casos más simples y comunes que hay. Las ecuaciones diferenciales que vamos a tratar en esta parteson:

Para el caso simple de una función de una variable, por ejemplo, h(x), se puede resolver una ecuación del tipo

h(x) = c, c constante

si se tiene en cuenta lo que se denomina la función inversa de h.

Dada una función h : A → B, la función inversa, identificada como h-1, se define como h-1 : B → A es una función tal que

h-1(h(x)) = h(h-1(x)) = x.

Ahora, si se aplica la función inversa de ambos lados de la igualdad

h(x)=c, c constante

se obtiene

h-1(h(x))=h-1(c)

x = h-1(c)

y se ha encontrado la solución de la ecuación. Sin embargo, dependiendo de la función, puede ser difícil definir la inversa, o puede que no sea una función en todo el conjunto B (solo por ejemplo en un subconjunto), y tener muchos valores para un dado punto.

Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de sustitución:

1. Resuelve una de las ecuaciones para

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