Matrices Definidas

DEDICATORIA

A mi madre muy especial, que me dio la vida, el amor y el firme propósito de alcanzar una carrera digna y humana.

A mi esposo y a mi niña

Que con su paciencia y devoción fueron un estímulo constante para alcanzar mi objetivo ya que siempre han estado ahí presentes en cada uno de mis pasos y en el amor a mi trabajo.

Que Dios los proteja siempre.

“Muchas Gracias”.

I.- MATRICES

1.1.- INTRODUCCIÓN

La gran diversidad necesidades del ser humano, en cada uno de los ámbitos requiere emplear técnicas y métodos matemáticos que de una solución rápida y exacta. Una de las herramientas que ha tenido gran aplicación son las matrices, las cuales nos dan una solución óptima aun sistema de ecuaciones lineales previamente obtenidas de un planteamiento del problema.

1.2.- DEFINICIÓN

Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.

Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz (aij) tiene dos subíndices. El primero i indica la fila a la que pertenece y el segundo j la columna. Esta es una matriz de m filas y n columnas, es decir, de dimensión m x n. Esta matriz también se puede representar de la forma siguiente: A = (aij) m x n.

Si el número de filas y de columnas es igual (m = n), entonces se dice que la matriz es de orden n.

1.3.- NOTACION DE UNA MATRIZ

Cuando nos referimos a una matriz específica es necesario listar cada una de sus componentes o todas. Sin embargo, si las componentes no se especifican como en la matriz.

Que en forma abreviada denotaremos donde aij es la componente de la fila i y de la columna j y m x n significa que la matriz tiene m filas y n columnas. Si el número de filas y el número de columnas no tiene importancia se escribe simplemente . Si m = n decimos que la matriz es una matriz cuadrada de orden n.

Decimos que una matriz es real si todas sus componentes son números reales, en adelante asumiremos que todas las matrices son reales a no ser que se diga lo contrario.

El conjunto de todas las matrices reales de orden m x n se denota Rm x n .

Una matriz de tamaño m x 1 se llama matriz columna o vector columna, y una matriz de orden 1 x n se llama matriz fila o vector fila.

1.4.- ORDEN DE UNA MATRIZ

El número de filas y columnas de una matriz determina el orden de la matriz. El orden de la matriz está determinado por un par de números naturales; m y n.

Las filas son los números dispuestos en m horizontales. En el ejemplo, la primera fila estaría formada por los números [ 1 2 3 ].

Las columnas son los números dispuestos en n verticales. En el ejemplo, la primera columna estaría formada por los números [ 1 1 4 6 ].

Una matriz de orden (m,n) es el conjunto de números dispuestos en m filas y n columnas.

Siguiendo el mismo ejemplo, vemos que es una matriz 4x3. Se clasifica así porque la matriz contiene 4 filas y 3 columnas.

Si queremos señalar un elemento de la matriz, estos se distinguen por su posición, la cual queda definida por su fila y su columna.

Por ejemplo, si queremos dar la posición del número 7, sería de la siguiente forma:

am,n es a2,3

m indica la fila en la cual se encuentra el número. Pasa exactamente lo mismo n, que indica la columna en la que se encuentra.

1.5.- IGUALDAD DE MATRICES

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales.

1.6.- DESIGUALDAD DE MATRICES

Sean y , dos matrices de ceros y unos. Se dice que M precede a N, o M es menor que N, y se escribe .si toda entrada de M es menor o igual que la entrada correspondiente de N, esto es:

Sean

Entonces . Usando la definición anterior podemos caracterizar la contenencia entre relaciones en términos de matrices.

1.7.- MATRICES DIFERENTES

1.8. MATRICES ESPECIALES

1.81. Matriz rectangular. Es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas.

1.8.2. Matriz fila. Las matrices de una sola fila, se denominan matrices fila.

1.8.3. Matriz columna. Las matrices de una sola columna, se denominan matrices columna.

1.8.4. Matriz nula. Las matrices con todos los elementos cero.

1.8.5. Matriz cuadrada.

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

1.8.6. EJERCICIOS

Ejercicio n° 01

Dadas: y

(a)Describir los vectores filas y los vectores columnas de y

(b)Hallar , ,

Respuesta a:

Los vectores filas de son: y Los vectores columnas de son: y Los vectores filas de son: y Los vectores columnas de son: y

Respuesta b:

Ejercicio n°02

En cada uno de los siguientes casos determinar y

(a)

(b)

Respuesta

a)

b)

II.- OPERACIONES CON MATRICES

2.1. ADICIÓN.

Las matrices se pueden sumar, con la condición que sea del mismo orden. La suma se obtiene sumando los elementos de dos matrices que pertenecen a la misma fila y a la misma columna.

Dada las matrices A y B del mismo orden, la matriz sumante

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