Matrices De Markov

Misión de Paz en Afganistán

Trabajo Matemáticas

Índice

Introducción y objetivos principales……………………………………………………………………Pág. 2

1. Estudiar el comportamiento de las potencias de una matriz…………………………..Pág. 3

2. Búsqueda bibliográfica sobre matrices de Markov………………………………………….Pág. 6

3. Matriz de tránsito de una base a otra……………………………………………………………..Pág. 7

4. Calcular An y hallar su límite…………………………………………………………………………..Pág. 9

5. Verificación de hipótesis...………………………………………………………………………………Pág. 14

6. A un tiempo n del comienzo de la misión.………………………………………………………Pág. 15

7. Aplicaciones……………………………………………………………………………………………………Pág. 17

Bibliografía………………………………………………………………………………………………………..Pág. 19 

Introducción y Objetivos principales

El objetivo de este trabajo es estudiar la convergencia de la sucesión de potencias de una matriz dada, es decir la sucesión:

A, A2, A3, A4,…, An,…

Este problema se puede abordar construyendo la potencia enésima de A, An, y calculando el límite, cosa que no siempre es fácil, o directamente con los valores propios de la matriz A sin necesidad de hallar la potencia.

En el trabajo se nos facilita un texto sobre la cantidad de militares distribuidos en las tres bases militares de Afganistán. El problema surge debido a una reordenación de tropas que se produce mensualmente de una base a otra, estos datos están dados en porcentajes sobre las tropas totales de cada base.

Saber la cantidad de tropas que hay al haber trascurrido un mes, es una tarea fácil, pues solamente tenemos que sumar y restar, pero el problema que nosotros debemos resolver es saber la cantidad de tropa que hay en las bases en función de un tiempo: t = n.

Para realizar este trabajo necesitamos encontrar una matriz cuadrada, pxp, que en nuestro caso es 3x3, que sirva como matriz de transición para un futuro indefinido y a esa matriz la llamaremos A.

Para comenzar haremos un estudio del método general y el comportamiento de la potencia de una matriz usando valores y vectores propios.

Posteriormente calcularemos esta matriz A y deduciremos mediante cálculos An, para poder calcular los demás apartados del trabajo.

Para finalizar explicaremos la búsqueda bibliográfica que hemos realizado sobre las matrices de Markov y el teorema de Perron-Frobenius así como las aplicaciones de dichas matrices de Markov a la Ingeniería, la Organización Industrial y la Defensa.

1. Estudiar el comportamiento de las potencias de una matriz

Para explicar el método que vamos a usar, nos parece importante comenzar desde la base, pues para hacer la potencia enésima de la matriz A vamos a tener que calcular varias matrices de cambio de base y una matriz diagonal que nos facilitará la solución al problema que nos han impuesto.

Como hemos dicho antes, necesitamos que la matriz A sea cuadrada, pero ¿Cuál es el motivo? La respuesta es porque vamos a trabajar en una aplicación lineal tal que:

F: V  V, donde el espacio inicial y el final coinciden, esta aplicación se denomina: “Endomorfismo”.

Ahora enunciaremos una propiedad: Sabemos que B y B’ son bases de V; Por lo tanto podemos afirmar que:

Mf (B’) = PB B’ • Mf (B) • PB’ B

A = P • B • Q (Q = P-1 al ser el cambio de base inverso)

A = P • B • P-1

Dos matrices A y B (cuadradas) son matrices del mismo endomorfismo si y solo si se cumple la propiedad que acabamos de nombrar. Tras esto, ¿Cuál es ahora nuestro objetivo? Pues dado un endomorfismo, queremos encontrar una base B de V tal que B sea una matriz diagonal: D.

Para que B sea diagonal, los vectores deben tener unas características determinadas, pues cada vector ha de cumplir que f(vi) = λ•vi, λ є K.

Explicaremos esto con un ejemplo:

f: R2  R2

(x, y)  (y, x)

Para que sea base necesitamos 2 vectores, pues vamos a probar:

(1, 2) f(1, 2) = (2, 1) ≠ λ(1, 2) λ є R NO VALE

(3, 4) f(3, 4) = (4, 3) ≠ λ(3, 4) λ є R NO VALE

(-1, 1) f(-1, 1) = (1, -1) = λ(-1, 1) λ = -1 VALE

(1, 1) f(1, 1) = (1, 1) = λ(1, 1) λ = 1 VALE

Con lo cual B = {(1, -1), (1, 1)} donde f(vi) = λ•vi tal que:

λ1 0 -1 0

Mf (B) = =

0 λ2 0 1

Como vemos ya hemos conseguido que sea diagonal; a partir de ahora definiremos v como vector propio de f con valor propio λ.

Una vez expuesto el ejemplo, ya nos hemos hecho una idea de que lo tenemos que hacer; ahora vamos a mecanizar la diagonalización del endomorfismo. Supongamos que tenemos una base B de V y hemos calculado ya la matriz Mf(B), con lo que hemos explicado antes, ¿podemos utilizar este cálculo para llegar a la base B’ que hace a la matriz Mf(B’) diagonal? La respuesta es sí:

f: V  V

v  f(v) tal que XB  YB = Mf(B)•XB = A• XB

vectores propios: f(v) = λ•v donde (v є K / v  V / v ≠ 0)

YB = λ • XB (Pero hemos quedado que: YB = A• XB)

A• XB = λ • XB  (λ – A)• XB = 0 *Hay que tener en cuenta que necesitamos que λ sea una matriz para poder restarle A:

(λ • I – A) • XB = 0

Al realizar estos cálculos, necesitamos que el sistema sea compatible indeterminado, es decir, que el rango de (λ • I – A) < orden A; para que haya soluciones no nulas.

Una vez demostrado todo esto, los cálculos ya se simplifican mucho más, y para obtener los valores propios, simplemente hay que hacer el determinante e igualar a cero, es decir: |λ • I – A| = 0. Estas ecuaciones nos proporcionan los valores propios de f, es decir: λ1, λ2,…, λr donde el sistema tendría r soluciones.

Ya calculados los valores propios, definimos un subespacio vectorial E(λ) que contiene a todos los valores propios de λ y el vector nulo; y

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