Pérdida de la convergencia cuadrática en el método de Newton-Raphson y sus soluciones.

Pérdida de la convergencia cuadrática en el método de Newton-Raphson y sus soluciones

Gabriel Antonio Sierra Calero

Universidad Tecnológica de Bolívar, Cartagena, Colombia

gasierracalero@hotmail.com

Abstract— Este documento es realizado con el fin de dar una explicación de los causantes de la falta de convergencia cuadrática que presenta el método de Newton-Raphson en algunos casos específicos. En adición, más adelante se presentan las soluciones existentes al inconveniente previamente descrito sin tener la obligación de prescindir de este método.

1. INTRODUCCIÓN

El método de Newton-Raphson es un método muy popular utilizado para encontrar las aproximaciones de las raíces de una función real. Normalmente presenta una convergencia cuadrática, aunque existen ecuaciones para las cuales este método no presenta esta convergencia y es necesaria la aplicación de otros algoritmos que permitan dar solución a esta situación sin la necesidad de dejar a un lado el método de Newton-Raphson.

1. DESARROLLO DE CONTENIDOS

1. Método de Newton-Raphson:

Cómo bien se mencionó anteriormente, este método es de utilidad para poder encontrar las aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. Es un método abierto e iterativo donde se escoge un valor inicial cercano a la raíz de la función, luego se resta este valor con la división de la función evaluada en dicho punto con su derivada lo cual dará como resultado otro valor aún más cercano a la raíz. Este proceso se repite hasta que se llega a la solución con un error deseado.  

1. Demostración del método:

Para la demostración se utilizará un polinomio de Taylor de primer grado para  alrededor de :[pic 1][pic 2]

1. [pic 3]

Siendo c un punto que se encuentra entre  y . [pic 4][pic 5]

Ahora sabiendo que  y que  entonces (1) pasa a quedar de la siguiente forma:[pic 6][pic 7]

1. [pic 8]

Para obtener el método se desprecia el término  y se obtiene que:[pic 9]

[pic 10]

Finalmente se despeja p de la ecuación anterior y se obtiene:

[pic 11]

Esto nos lleva a que la sucesión de  está definida por la siguiente expresión:[pic 12]

[pic 13]

Al final se podrá llegar a la conclusión que:

[pic 14]

1. Pérdida de la convergencia cuadrática del método de Newton-Raphson

El método de Newton-Raphson normalmente posee una convergencia cuadrática. Sin embargo, existen casos en los que esta convergencia cuadrática se pierde y pasa a convertirse en una convergencia lineal.

Si se sabe que p está definida como una raíz simple (que solo ocurre una vez) de , es decir, que M=1 siendo M la multiplicidad de la raíz, la convergencia del método será muy rápida haciendo que en cada iteración que se realice se doblen el número de cifras exactas. [pic 15]

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