Parcial 3 de Estadistica

 Pregunta 1[pic 1]

X: Volumen depositado en un tercio (cl)

X se distribuye normal con μ = 34 y σ = 1,5

A)

Primero calculamos la probabilidad de que una lata sea distribuida, esto es:

𝑃(33 < X < 36.5) = 𝑃 (33 − 𝜇 < X − 𝜇 < 36,5 − 𝜇)

[pic 2]        [pic 3]        [pic 4]

𝜎        𝜎        𝜎

= 𝑃 (33 − 34 < 𝑍 < 36,5 − 34)

[pic 5]        [pic 6]

1,5

2

1,5

5

= 𝑃 (− 3 < 𝑍 < 3)[pic 7][pic 8]

= 0,2475 + 0,4522 (𝑝o𝑟 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑o𝑟𝑎)

= 0,6997

El contenido promedio de las latas distribuidas es un promedio ponderado, esto es:

33 + 34        34 + 36,5

(        2        ) × 0,2475 + ([pic 9]

0,6997

B)

2        ) × 0,4522 = 34,6310 𝑐𝑙

T: Número de latas de las 6 del six-pack que nunca fueron devueltas para ser recuperadas T se distribuye binomial con n = 6 y p = 0,7011

t = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

𝑝 (𝑡) = (6) 0,6997𝑡0,30036−𝑡[pic 10]

𝑡

𝑃(𝑇 = 6) = 𝑝𝑇(6) = (6) × 0,69976 × 0,30036−6 = 0,1173[pic 11]

C)

Y: Número de latas de las 24 de la bandeja que fueron devueltas para ser recuperadas Y se distribuye binomial con n = 24 y p = 1 – 0,6997 = 0,3003

y = 0, 1, 2, …, 24[pic 12]

𝑝𝑌

(𝑦)

= ( 𝑦 ) 0,3003𝑦

0,6997

24−𝑦

𝑃(𝑌 ≤ 0,10 × 24)

= 𝑃(𝑌 ≤ 2,4)

𝑃(𝑌 ≤ 2)

2

= ∑ (24) 0,3003w0,699724−w = 0,0118

[pic 13]

Pregunta 2

A)

La gráfica de la función y= g(x) es:

[pic 14]

Para 1 ≤ x < 2:

Para 2 ≤ x < 4:

Intervalo (−∞, 0]

𝑦 = 5 − 𝑥 → 𝑥 = 5 − 𝑦

𝑦 = 𝑥 − 1 → 𝑥 = 𝑦 + 1

𝑔−1((−∞, 𝑦]) = ∅; 𝑦 < 0

Intervalo (0, 1]

Intervalo (1, 2]

Intervalo (2, 3]

Intervalo (3, 4]

→ 𝑔−1((−∞, 0]) = {0}

𝑔−1((−∞, 𝑦]) = {0} 𝖴 𝑔−1((0, 𝑦]) = {0}; 0 ≤ 𝑦 < 1

→ 𝑔−1((−∞, 1]) = (−∞, 1]

𝑔−1((−∞, 𝑦]) = (−∞, 1] 𝖴 𝑔−1((1, 2]) = [1, 𝑦 + 1] 𝖴 {2}; 1 ≤ 𝑦 < 2

→ 𝑔−1((−∞, 2]) = (−∞, 1] 𝖴 [2, 3] 𝖴 (4, ∞)

𝑔−1((−∞, 𝑦]) = (−∞, 1] 𝖴 [2, 3] 𝖴 𝑔−1((2, 3]) = [2, 𝑦 + 1]; 2 ≤ 𝑦 < 3

→ 𝑔−1((−∞, 3]) = (−∞, 1] 𝖴 (2, ∞)

𝑔−1((−∞, 𝑦]) = (−∞, 1] 𝖴 [2, 4] 𝖴 𝑔−1((3, 4]) = [3, 5 − 𝑦]; 3 ≤ 𝑦 < 4

→ 𝑔−1((−∞, 4]) = ℜ

Intervalo (4, ∞)

𝑔−1((−∞, 𝑦]) = (−∞, 4] 𝖴 𝑔−1((4, ∞)) = (−∞, 4] 𝖴 (4, ∞); 𝑦 ≥ 4

→ 𝑔−1(ℜ) = ℜ

⎧        ∅        𝑆i 𝑦 ≤ 0

𝑔−1((−∞, 𝑦]) →

B)

{0}

⎪[1, 𝑦 + 1] 𝖴 {2}

⎨        [2, 𝑦 + 1]

⎪        [3, 5 − 𝑦]

𝗅        ∅

𝑆i 0 < 𝑦 ≤ 1

𝑆i 1 < 𝑦 ≤ 2

𝑆i 2 ≤ 𝑦 < 3

𝑆i 3 < 𝑦 < 4

𝑆i 𝑦 ≥ 4

X se distribuye normal con μ = 2 y σ = 2

1        −1(𝑥−2)2[pic 15]

B.1.)

ƒ𝑋(𝑥) = 2√2𝜋 e  2    2

La función es inyectiva en los intervalos (1, 2), (2, 3) y (3, 4). Por tanto:

𝑛

ƒ (𝑦) = ∑ ƒ (𝑥 ) |𝑑𝑥i|

𝑌        𝑋        i

i=1

𝑑𝑦

Primer intervalo: (1, 2)

𝑥 = 5 − 𝑦

𝑑𝑥 = −1[pic 16]

𝑑𝑦

(1)

1        −1(5−𝑦−2)2

ƒ𝑌

(𝑦) =        e 2        2

2√2𝜋[pic 17]

|−1|

1        −1(3−𝑦)2

Segundo intervalo: (2, 3)

=                 e  2     2

2√2𝜋[pic 18]

; 3 < 𝑦 ≤ 4

𝑥 = 𝑦 + 1

...