Partición de un intervalo

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Bolivariana

2do Semestre de ingeniería de sistemas Sección “B”

Núcleo Chuao

[pic 1]

Matemática

Suma de Riemann

Profesor:                                                  integrantes:

Adame                        

                                                -Barbara Medina

Chuao, Noviembrede 2014

Partición de un intervalo

- Una partición P del intervalo cerrado [a, b] es un conjunto finito de puntos P = { x0, x1, x2, ..., xn} tal que:

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn = b

- La diferencia máxima entre cuales quiera dos puntos consecutivos de la partición, se llama norma de la partición, y se denota por || P || , es decir:

|| P || = max {xj - xj-1 , j = 1 ... n}

- Un refinamiento de la partición P es otra partición P' que contiene todos los puntos de P y además otros puntos adicionales, también ordenados en orden de magnitud.

Suma de Riemann superior e inferior.

Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:

La suma superior de f respecto de la partición P se define así:

S(f, P) = cj (xj - xj-1)

donde cj es el supremo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].

La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:

I(f, P) = dj (xj - xj-1)

donde dj es el ínfimo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].

Variación de las sumas de Riemann

Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:

La suma inferior aumenta a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o superior, y el área siempre aumenta. Es decir:

I(f, P) I(f, P') para todo refinamiento P' de la partición P

Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que aumenta:

La suma superior disminuye a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o inferior, y el área siempre disminuye. Es decir:

S(f, P') S(f, P) para todo refinamiento P' de la partición P

Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que disminuye.

Integral de Riemann superior e inferior. Funciones Riemann-Integrables

Sea f una función acotada definida en un intervalo cerrado [a, b]. Se define:

la integral superior I*( f ) = inf { S(f, P) : P es partición de [a, b] }

la integral inferior I*( f ) = sup { I(f, P) : P es partición de [a, b] }

Entonces si I*( f ) = I*( f ) la función f es Riemann-Integrable y la integral de Riemann de f sobre el intervalo [a, b] se denota por:

 f(x) dx

Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la partición particular escogida, mientras que las integrales superior e inferior son independientes de las particiones elegidas. Sin embargo, esta definición es difícil para ser aplicada de forma práctica, pues es necesario conocer el ínfimo y el supremo es Cuando estudiamos el problema del área y el problema de la distancia analizamos que tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el límite de una suma.

Cuando estudiamos el problema del área y el problema de la distancia analizamos que tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el límite de una suma.

[pic 2][f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)] D x = [pic 3]

(se utiliza el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo)

[pic 4] [f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)] D x =[pic 5]

(se utiliza el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo)

[pic 6] [f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)] D x = [pic 7]

(se utiliza el valor de la función en cualquier punto de cada subintervalo)

Este tipo de límites aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando f no es necesariamente una función positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la necesidad de dar un nombre y una notación a este tipo de límites.

Definición 1: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica [pic 8]es el número:

[pic 9]=[pic 10] [f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)] D x o bien

[pic 11]= [pic 12] donde x0 = a, xn = b y D x = [pic 13].

(la función se evalúa en el extremo izquierdo de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)

Definición 2: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica [pic 14]es el número:

[pic 15]=[pic 16][f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)] D x

[pic 17]=[pic 18] donde x0 = a, xn = b y D x = [pic 19].

(la función se evalúa en el extremo derecho de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)

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