Primer problema fundamental de la geometría analítica

Quieres obtener

Debes hacer

Intersección en x

𝑦 = 0 y resolver la ecuación resultante para “x”. Los puntos obtenidos serán de la forma 𝑃(𝑥, 0).

Intersección en y

𝑥 = 0 y resolver la ecuación resultante para “y”. Los puntos obtenidos serán de la forma 𝑃(0, 𝑦).

Simetría con el eje x

Sustituye las "𝑦" por " − 𝑦", si la ecuación resultante es la misma que la original entonces “la ecuación es simétrica respecto al eje 𝑥”.

Simetría con el eje y

Sustituye las "𝑥" por " − 𝑥", si la ecuación resultante es la misma que la original entonces “la ecuación es simétrica respecto al eje 𝑦”.

Extensión en el eje x

Despeja la variable “y” y analiza el intervalo al que pertenece “x” tal que “y” tome valores reales (ℝ).

Extensión en el eje y

Despeja la variable “x” y analiza el intervalo al que pertenece “y” tal que “x” tome valores reales (ℝ).

Asíntotas verticales

Si en el despeje de “y”, hay una variable “x” en el denominador, entonces iguala el denominador a cero y resuelve para x. La asíntota vertical es de la forma 𝑥 = 𝑎, donde 𝑎 es una constante.

Asíntotas horizontales

Si en el despeje de “x”, hay una variable “y” en el denominador, entonces iguala el denominador a cero y resuelve para y. La asíntota horizontal es de la forma 𝑦 = 𝑎, donde 𝑎 es una constante.

Tabla de valores

Si la ecuación no es simétrica respecto a “y”: Toma valores negativos y positivos para “x” que se encuentren en el intervalo establecido en la extensión, utiliza el despeje de “y” para obtener suficientes coordenadas (𝑥, 𝑦) que permitan graficar el lugar geométrico.

Si la ecuación es simétrica respecto a “y”: Basta con tomar valores positivos para “x”, dado que “y” es eje de simetría, los puntos (𝑥, 𝑦) obtenidos, tienen sus puntos simétricos (−𝑥, 𝑦).

Forma en el despeje

Forma de solución

Ejemplo de forma

Extensión

𝑎1𝑥𝑛 + 𝑎2𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥0

𝑦 = 𝑏1𝑥𝑚 + 𝑏2𝑥𝑚−1 + ⋯ + 𝑏𝑚𝑥0

ℝ/{𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘}

Donde 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 son raíces de

𝑏1𝑥𝑚 + 𝑏2𝑥𝑚−1 + ⋯ + 𝑏𝑚𝑥0

𝑥2

𝑦 = 𝑥 + 3

ℝ/{−3}

[pic 6]

𝑦 = √𝑎1𝑥𝑛 + 𝑎2𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥0

Pueden        darse        diferentes intervalos, abiertos o cerrados:

𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏)

𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) 𝖴 (𝑐, 𝑑)

𝑥 ∈ ℝ

Esto depende de la inecuación:

𝑎1𝑥𝑛 + 𝑎2𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥0 ≥ 0

[pic 7]

𝑦 = √𝑥2 − 9

𝑥 ∈ (−∞, −3] 𝖴 [3, ∞)

[pic 8]

𝑦 = √ 𝑎1𝑥𝑛 + 𝑎2𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥0

𝑏1𝑥𝑚 + 𝑏2𝑥𝑚−1 + ⋯ + 𝑏𝑚𝑥0

Pueden darse diferentes intervalos, abiertos o cerrados:

𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏)

𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) 𝖴 (𝑐, 𝑑)

𝑥 ∈ ℝ

Esto depende de la inecuación:

𝑎1𝑥𝑛 + 𝑎2𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥0

𝑏1𝑥𝑚 + 𝑏2𝑥𝑚−1 + ⋯ + 𝑏𝑚𝑥0 ≥ 0

Este tipo de inecuaciones se resuelve por casos.

Además, se considera el caso donde el denominador no debe ser cero.

[pic 9]

𝑦 = √𝑥 + 3

𝑥

Caso I. 𝑥 > 0

𝑥 + 3 ≥ 0

𝑥 ≥ −3

Como la condición del caso indica que 𝑥 > 0 y −3 está a la izquierda de 0, se desprecia y se considera el intervalo: “𝑥 > 0"

Caso II. 𝑥 < 0

𝑥 + 3 ≤ 0

𝑥 ≤ −3

Como la condición del caso indica que 𝑥 < 0 y debe ser menor que “ −3 ”, se considera el intervalo:

𝑥 ≤ −3

𝑥 ∈ (−∞, −3] 𝖴 (0, ∞)

Nótese que en el intervalo, ya se está excluyendo 𝑥 = 0