Probabilidad condicional

Probabilidad condicional

La probabilidad condicional es la probabilidad de algún evento A , dada la ocurrencia de algún otro evento B .  Esto está denotado por P ( A | B ) y se lee “la probabilidad de A , dado B ”. En otras palabras, estamos calculando probabilidades condicionales al conocer información adicional parcialmente a través del experimento.

Ejemplo :

Una maestra de matemáticas le da a su clase dos exámenes. El 30% de la clase paso ambos exámenes y el 45% de la clase paso el primer examen. Qué porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo?

Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen

Ejemplos de Probabilidad Condicional:

Ejemplo : Calcular la probabilidad de que al tirar un dado salga 3 si se sabe de antemano que ha salido un número impar:

Tenemos que calcular: P(3 | saliendo impar) 

P(3|impar) = P(3 ∩ impar) / P(impar)

P(impar) = 3/6 = 1/2

P(3 ∩ impar) = probabilidad de que salga 3 y también impar = 1/6

P(3|impar) = (1/6) / (1/2) = 1/3

Ejemplo : Supongamos que:

Una determinada enfermedad afecta al 1% de las personas

La probabilidad de que al analizar a una persona sana salga erróneamente positivo (enferma) es el 1% 

La probabilidad de que al analizar una persona enferma salga erróneamente negativa (sana) es el 1% 

Calcular la probabilidad de que una persona esté realmente enferma si da positivo en un análisis.

P(enfermo) = 1% = 0,01

P(sano) = 1 - P(enfermo) = 1 - 0,01 = 0,99

P(positivo | sano) = 1% = 0,01

P(negativo | sano) 1 - P(positivo | sano) = 1 - 0,01 = 0,99

P(negativo | enfermo) = 1% = 0,0198

P(positivo | enfermo) = 1 - P(negativo | enfermo) = 1 - 0,01 = 0,99

Necesitamos calcular P(enfermo | positivo):

P(enfermo | positivo) = P(enfermo ∩ positivo) / P(positivo)

P(enfermo ∩ positivo) =  P(positivo ∩ enfermo) por lo que lo podemos obtener a través de:

P(positivo | enfermo) = 0,01 = P(positivo ∩ enfermo) / P(enfermo)

P(positivo ∩ enfermo) = 0,01 · P(enfermo) = 0,01 · 0,01 = 0,0001

Por otra parte, podemos obtener  P(positivo) a partir de:

P(positivo) = P(sano ∩ positivo) + P(enfermo ∩ positivo)

Para despejar P(positivo) necesitamos conocer P(sano ∩ positivo) y P(enfermo ∩ positivo) que obtenemos de:

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