REGRESIÓN NO LINEAL

REGRESIÓN   NO   LINEAL

Regresión Polinomial.- Si el diagrama de dispersión muestra una curvatura, entonces podríamos usar un polinomio en X, de cierto grado, para aproximar la verdadera curva de regresión. En general el modelo matemático es:

        [pic 1]

Donde  [pic 2]

Cabe destacar que lo que se busca y se prefiere en forma general es un polinomio de un orden relativamente bajo; se deberá evitar el empleo de potencias muy grandes de la variable de predicción.

Modelo de Regresión Polinomial de Segundo Grado

        [pic 3]

Donde β1  es el coeficiente lineal  y  β2 es el coeficiente cuadrático.

El interés recae en probar la hipótesis:

[pic 4]

Ejemplo.- La demanda de cierto producto cambió debido a una variación rápida de su precio por unidad. Supóngase que la demanda Y del producto se observa en una región geográfica sobre un intervalo bastante amplio de precios X.

Determine el grado de un polinomio que mejor se ajuste estos datos.

Solución

El diagrama de dispersión revela una curvatura, lo cual indica que debe intentarse el ajuste con un modelo cuadrático, cuya ecuación de regresión muestral es:

∑ Y  =  a n  +  b1 ∑ X  +  b2 ∑ X2

∑ XY  =  a ∑ X +  b1 ∑ X2  +  b2 ∑ X3

∑ X2Y  =  a ∑ X2 +  b1 ∑ X3  +  b2 ∑ X4

[pic 5]

Nota.- Si consideramos que el modelo es lineal, la ecuación de regresión sería:

Y = 497 - 24,4 X

Predictor       Coef                  SE Coef              T                   P

Constante     497,16            60,85           8,17              0,000

X                       -  24,419             4,594                     5,32              0,000

S = 47,5282       R-cuad. = 75,8%               R-cuad.(ajustado) = 73,2%

Por lo pronto estamos aceptando que el modelo es lineal, con un

R2 = 75.8%

Enseguida trataremos de ver si el modelo cuadrático es el que mejor relaciona a dichas variables.

Y                X        X*Y                X*2                X*2 ( Y )        X*3                X*4

360        8,8        3168,0                77,44                27878,4        681,47                5997

305        9,7        2958,5                94,09                28697,5        912,67                8853

230        9,9        2277,0                98,01                22542,3        970,30                9606

242        10,3        2492,6                106,09                25673,8        1092,73        11255

180        11,0        1980,0                121,00                21780,0        1331,00        14641

172        12,5        2150,0                156,25                26875,0        1953,13        24414

121        13,2        1597,2                174,24                21083,0        2299,97        30360

83                14,8        1228,4                219,04                18180,3        3241,79        47979

122        15,8        1927,6                249,64                30456,1        3944,31        62320

91                17,4        1583,4                302,76                27551,2        5268,02        91664

105        18,2        1911,0                331,24                34780,2           6028,57        109720      

En donde        ∑Y = 2011            ∑ X =  141.6                ∑ XY =  23273.7        ∑ X2 = 1929.8        

                ∑ X2Y =  285497.73                ∑ X3  =  27723.96            ∑ X4 =  416807.7764        

Luego reemplazando en el sistema de ecuaciones y resolviendo obtenemos la siguiente ecuación de regresión:

[pic 6]  =  1330.4  -  155.47 X  +  4.866 X2

Por  otro lado        [pic 7]        

Reemplazando los resultados obtenidos en dicha fórmula tenemos que

r2  =  0.936

Lo cual nos indica que el 93.6 % de las variaciones que se observan en la demanda, se explican por la variación de los precios y el 6.4 % restante se debería a la influencia de alguna otra variable no tomada en cuenta en nuestro estudio.

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