REPORTE PÉNDULO SIMPLE,

DETERMINACION DE LA ACELERACION DE LA GRAVEDAD

OBJETIVO:

Medir la aceleración de la gravedad mediante un péndulo simple. Para oscilaciones pequeñas, el periodo T viene dado por la longitud del péndulo l y la aceleración de la gravedad g. Midiendo T y l podremos determinar g:

g=〖4π〗^2 l/T^2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (Ec. 1)

MARCO TEORICO

El movimiento armónico simple (M.A.S) también denominado movimiento vibratorio armónico simple (M.V.A.S) es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición pero en sentido opuesto en el que un cuerpo oscila de un lado a otro, de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.

Para deducir las ecuaciones que rigen este movimiento (unidimensional) podemos ayudarnos de un movimiento auxiliar, bidimensional, un movimiento circular uniforme (M.C.U). Cuando tenemos un punto que da vueltas uniformemente alrededor de una circunferencia, la proyección sobre un eje (una sola dimensión) de ese punto describe un (M.A.S) lo que nos va a permitir deducirnos sus ecuaciones a partir del movimiento circular (un movimiento auxiliar, bidimensional, que no es armónico simple).

Se denomina péndulo simple (o péndulo matemático) a un punto material suspendida de un hilo inextensible y sin peso, que puede oscilar entorno a una posición de equilibrio.

La distancia del punto pesado al punto de suspensión se denomina l (longitud del péndulo simpe).

Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura 1.

Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud l, del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico.

Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula. Ésta se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso.

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:

F_t= -mg sin⁡θ=〖ma〗_t

Siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento.

Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner:

a_t=l θ ̈

Siendo θ ̈ la aceleración angular, de modo que la ecuación definida del movimiento es:

-mg sin⁡θ=ml θ ̈ □(□(⇒┴ )) l θ+g sin⁡θ=0

Si consideramos tan sólo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo θ sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del sin θ será muy próximo al valor de θ expresado en radianes (sin θ ≈ θ, para θ suficientemente pequeño), y la ecuación definida del movimiento se reduce a:

l θ ̈+ g θ=0

Que es idéntica a la ecuación definida correspondiente al M.A.S., refiriéndose ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento rectilíneo, cuya solución es:

θ= φ sin⁡〖(ωt+ ϕ )〗

Siendo ω la frecuencia angular de las oscilaciones, a partir de la cual determinamos el período de las mismas:

ω= √(g/l) ⇒ T=2π√(l/g) • • • • • • • • • • • • • • • • • (Ec. 2)

Las magnitudes φ y ϕ son dos constantes "arbitrarias" (determinadas por las condiciones iníciales) correspondientes a la amplitud angular y a la fase inicial del movimiento. Ambas tienen dimensiones de ángulo plano. Donde l representa la longitud medida desde el punto de suspensión hasta la masa puntual y g es la aceleración de la gravedad en el lugar donde se ha instalado el péndulo.

Periodo y frecuencia en el péndulo simple:

Periodo: es el tiempo que tarda la partícula en realizar una oscilación completa. Esto ocurre cuando pasa dos veces consecutivas por la misma posición y en el mismo sentido del movimiento. Se representa con la letra T.

Frecuencia: es el número de oscilaciones que la partícula realiza en la unidad de tiempo.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

Materiales:

Smart timer

Péndulo

Flexómetro

Soporte Universal

Procedimiento:

1. Con un ángulo de 5o se colocó el péndulo simple de modo que fuese posible variar su longitud.

2. Se tomó el tiempo de unas 5 oscilaciones con el cronómetro Smart timer.

3. Se comenzó con una longitud de 0.30 m y se aumentó 0.10 m en cada intervalo hasta obtener diez mediciones.

4. Se calculó el promedio del tiempo t para cada punto.

5. Se tabularon los resultados con la longitud representada en metros.

6. Se graficó T2 vs l, es decir, la longitud como variable independiente (eje x) y el periodo al cuadrado como variable dependiente (eje y).

7. Se hizo la regresión lineal por el método de mínimos cuadrados obteniendo el valor de la gravedad por medio de la pendiente como se indica en la introducción.

8. Con los valores obtenidos de la pendiente y la ordenada al origen se graficó la recta ajustada (línea de tendencia) sobre los puntos obtenidos experimentalmente para observar la desviación en cada punto.

9. Repetir lo anterior interpolando mediciones en intervalos de 0.05 m.

* Nota: se presentaron los datos en metros para obtener la gravedad en m/seg2.

DATOS EXPERIMENTALES

Tabla 1. Datos Experimentales

l+0.05 (cm) T1 +0.01 (s) T2 +0.01 (s) T3 +0.01 (s) T4 +0.01 (s) T5 +0.01 (s) TP +0.01 (s) T2 +0.01 (s2)

0.3 1.1239 1.1191 1.1234 1.1213 1.1226 1.1221 1.25901864

0.4 1.2806 1.2806 1.2870 1.2804 1.2798 1.2817 1.64270362

0.5 1.4317 1.4404 1.4403 1.4397 1.4401 1.4384 2.06910963

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