RESOLUCIÓN MEDIANTE DIFERENCIAS FINITAS DE LA ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN DE CALOR

UNIVERSIDAD DE TALCA[pic 1]

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL MECÁNICA

INFORME LABORATORIO Nº1

PROBLEMA: RESOLUCIÓN MEDIANTE DIFERENCIAS FINITAS DE LA ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN DE CALOR

TRANSFERENCIA DE CALOR

ALUMNOS:  PABLO CASTILLO NUÑEZ

                                ANIBAL TRONCOSO GONZALEZ

PROFESOR:  CARLOS ZAMBRA SAZO

CURICÓ

2017

INDICE

1        INTRODUCCIÓN        3

2        Aspectos Teoricos        3

2.1        Realice una búsqueda bibliográfica donde se detallen las ventajas y desventajas del método de diferencias finitas para discretizar ecuaciones.        3

2.2        Busque los tipos de ecuaciones característicos más comunes que existen EDP (Ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas ó parabólicas) y cuáles son los problemas ó variables que resuelven. ¿Qué tipo de ecuación es la ecuación del calor y la de transferencia de masa? ¿Qué sucede si la ecuación del calor y la de masa incluyen la convección? ¿son del mismo tipo de ecuación ó cambian?        3

2.2.1        Ecuaciones diferenciales parciales elípticas        3

2.2.2        Ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas        4

2.2.3        Ecuaciones diferenciales parciales parabólicas        4

3        Resultados        5

3.1        Con el programa presentado desarrolle el siguiente ejercicio, utilizando el método implícito para resolver la ecuación de conducción de calor.        5

4        Conclusión        11

5        Bibliografía        12

1. INTRODUCCIÓN

En la actulidad los software de modelamiento cumplen un rol importante, gracias a su efectividad y eficiencia, al momento de modelar diferentes fenomenos que ocurren en la ingeniería.

En el siguiente laboratorio utilizaremos dos software, Fortran y Tecplot, los cuales nos permitiran resolver la ecuación de conducción de calor mediante diferencias finitas.

1. Aspectos Teoricos        

1. Realice una búsqueda bibliográfica donde se detallen las ventajas y desventajas del método de diferencias finitas para discretizar ecuaciones.

1. Busque los tipos de ecuaciones característicos más comunes que existen EDP (Ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas ó parabólicas) y cuáles son los problemas ó variables que resuelven. ¿Qué tipo de ecuación es la ecuación del calor y la de transferencia de masa? ¿Qué sucede si la ecuación del calor y la de masa incluyen la convección? ¿son del mismo tipo de ecuación ó cambian?

1. Ecuaciones diferenciales parciales elípticas

Este tipo de ecuaciones nos ayudan a resolver problemas que presentan curvas características complejas. Físicamente, esto implica que no hay trayectorias preferidas en la propagación y que el dominio de dependencia y el rango de influencia de cada punto es el dominio entero de la solución. Es decir, la solución de cada punto depende e influye en la solución de todos los demás puntos, incluyendo la frontera. La solución es continua y el dominio de solución es cerrado para este tipo de ecuacines, el cual es ilustrado esquemáticamente por medio de la siguiente figura.[pic 2]

Las ecuaciones correspondiente a transfencia de calor, en este caso, corresponden a:

[pic 3]

[pic 4]

1. Ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas

Estas ecuaciones describen procesos físicos conservativos dependientes del tiempo, que no evolucionan hacia un estado estable. Estos problemas presentan condiciones iniciales y de frontera en dominios abiertos, en los cuales la solución en el dominio de interés se obtiene partiendo del estado inicial, y es guiada y modificada por las condiciones de frontera. De esta manera, la solución en un punto particular P en el nivel de tiempo n depende sólo de la solución de determinados puntos en todos los tiempos que preceden y la solución en un punto particular P en el nivel de tiempo n influye en la solución de ciertos puntos en todos los tiempos posteriores al nivel de tiempo n. Lo explicado se ilustra en la siguiente figura.

[pic 5]

Las ecuaciones correspondiente a transfencia de calor, en este caso, corresponden a:

[pic 6]

1. Ecuaciones diferenciales parciales parabólicas

Los problemas de propagación son problemas con condiciones iniciales y de frontera en dominios abiertos (abierto con respecto a una de las variables independientes) en los cuales la solución en el dominio de interés se obtiene partiendo del estado inicial, y es guiada y modificada por las condiciones de frontera. De esta manera, la solución en un punto particular P en el nivel de tiempo n depende de la solución de todos los puntos del dominio en todos los tiempos que preceden, incluyendo el nivel de tiempo n, y la solución en un punto particular P en el nivel de tiempo n influye en la solución de todos los puntos del dominio en todos los tiempos posteriores al nivel de tiempo n, incluyendo a este último. Lo explicado se ilustra en la siguiente figura.

[pic 7]

Los métodos de diferencias finitas en los cuales la solución en el punto P en el nivel de tiempo n+1 depende de la solución en los puntos vecinos en el nivel de tiempo n+1, reciben el nombre de métodos implícitos, porque la solución en cada punto se especifica en términos de la solución desconocida en los puntos vecinos en el nivel de tiempo n+1. Tales métodos agrupan las ecuaciones de diferencias finitas en el nivel de tiempo n+1, formando de esta manera un sistema de ecuaciones, que debe resolverse en cada nivel de tiempo. El procedimiento de solución en cada nivel de tiempo es análogo al procedimiento de solución para las EDP elípticas. Cabe destacar, que los métodos explícitos requieren un esfuerzo computacional menor, ya que no hay sistemas de ecuaciones para resolver.

Las ecuaciones correspondiente a transfencia de calor, en este caso, corresponden a:

[pic 8]

Los metodos de diferencias finitas para resolver esta ecuacion son el Método de tiempo progresivo, Método de tiempo regresivo y Método de Crank – Nicolson.

1. Resultados

1. Con el programa presentado desarrolle el siguiente ejercicio, utilizando el método implícito para resolver la ecuación de conducción de calor.

[pic 9]

        Donde las condiciones de frontera e iniciales están dadas por:

        [pic 10]

        [pic 11]

        [pic 12]

        [pic 13]

Suponga alfa igual a 10 y utilice 10 intervalos en la retícula para la coordenada x. Utilice valor de delta t; 0.055.

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