Solución De La Ecuación De Estado No Homogénea

Solución De La Ecuación De Estado No Homogénea

Consideramos la ecuación de estado no homogéneo descrita mediante

X=Ax+Bu

x: vector de dimensión n

u : vector de dimensión r

A : matriz de coeficientes constantes de n*n

B : matriz de coeficientes constantes de n*r

Si escribimos la ecuación como:

X(t)=Ax(t)+Bu(t)

Y pre multiplicamos ambos miembros de esta ecuación por , obtenemos:

e^(-At) [x(t)-Ax(t)]= d/dt [e^(-At) x(t)]= e^(-At) Bu(t)

Al integrar la ecuación entre t y 0

X(t)= e^At x(0)+ ∫_0^t▒e^A(t-t) Bu(τ).dτ

La ecuación también se escribe como

x(t)= Φ(t).x(0)+ ∫_0^t▒〖Φ(t-τ).Bu(τ).dτ〗

Φ(t)= e^At

La solución x(t) es claramente la suma de un término formado por la transición de estados inicial y un término que surge del vector de entradas.

Enfoque de la transformada de Laplace para la solución de ecuaciones de estado

La solución de la ecuación de estado no homogénea:

X=Ax+Bu

También puede obtenerse mediante el enfoque de la transformada de Laplace. La transformada de Laplace de esta última ecuación produce:

sX(s)-x(0)=AX(s)+BU(s)

O bien

(sI-A)X(s)=X(0)+BU(s)

Pre multiplicando ambos miembros de esta última ecuación por 〖(sI-A)〗^(-1), obtenemos

X(s)= (sI-A)^(-1) x(0)+(sI-A)^(-1) BU(s)

X(s)=L[e^At ]x(0)+L[e^At ]BU(s)

La transformada inversa de Laplace se obtiene mediante la integral de convolución, del modo siguiente:

x(t)=e^At x(0)+ ∫_0^t▒e^A(t-τ) Bu(τ).dτ

Si el tiempo inicial no fuera cero sino t0, la solución sería:

x(t)= e^A(t-t_o ) x+ ∫_(t_o)^t▒e^A(t-τ) Bu(τ).dτ

Linealización de ecuaciones No Lineales

La teoría desarrollada para el diseño de sistemas de control emplea modelos matemáticos lineales del proceso que se desea controlar a lazo cerrado. Sin embargo, la inmensa mayoría de sistemas en procesos químicos exhibe conducta no Lineal. Ejemplo de sistema altamente no lineal lo constituye el campo de reactores Que micos aun para reacciones muy simples.

Entonces planteamos la siguiente pregunta: Como podemos emplear teoría de control lineal para el control de sistemas no lineales? Una forma simple de responder a esta pregunta es: empleando alguna de forma de transformar el sistema no lineal en uno lineal. De esta forma el modelo "linealizado" puede ser empleado para el diseño del sistema de control del modelo no lineal original. Una posible ruta para el diseño del sistema de control se muestra de la siguiente forma:

Modelo No Lineal

Modelo Lineal

Diseño del Controlador

Prueba del Controlador

Una función lineal:

Una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

Supongamos que una cierta variable y depende de alguna otra variable x a través de alguna función f(.) de manera tal que

y = f(x)

Decimos que la relación entre las variables y y x es lineal si la función f(.) es la ecuación de la línea recta,

y = mx + b

Donde m representa la pendiente y b es la intercepción al origen. En este caso, es claro que

f(x) = mx + b

En algunos casos la variable y puede depender de más de una variable x1; : : : ; xn

y = f(x1; : : : ; xn)

Si la relación entre y y x es lineal entonces

y = m1x1 + : : : + mnxn

bien:

y=∑_(i=1)^n▒〖mi.xi〗

Donde :

Un ejemplo muy sencillo para pasar una ecuación no lineal a una lineal es el siguiente:

y=x^2-2x+1

x+√y =5

〖(√y)〗^2=(5-x)^2

〖y=25-10x+x〗^2

Método de igualación

〖x^2-2x+1=25-10x+x〗^2

〖-2x+10x=25-1〗^

〖8x=24〗^

〖x=24/8〗^

x=3

Luego se sustituye el valor de x en cualquier ecuación:

y=(5-x)^2

y=(5-3)^2

...