Ecuaciones homogeneas y no homogeneas

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Universidad Tecnológica De Santa Catarina

MECATRÓNICA AREA DE AUTOMATIZACIÓN

Matemáticas para ingeniería

Nombre: Alexis Giovanni Vega Cerda

Matricula: 18053

Grupo: IMT08A Docente: Javier Lino Torres Torres

SANTA CATARINA, N.L., MAYO 2023

índice

introducción                                                                                                                           3

ecuaciones diferenciales homogéneas                                                                                 3

definiciones                                                                                                                           3

ejemplos                                                                                                                               4

ecuaciones diferenciales no homogéneas                                                                           4

definiciones                                                                                                                          5

ejemplos                                                                                                                              5

Introducción

Una definición es una convención que distingue a un concepto sobre otros, y, por tanto, orienta tanto el discurso como la forma de pensar en cierta ´área. Es común que palabras de

uso cotidiano sugieran definiciones técnicas, de manera que una palabra puede tener significados distintos (posiblemente inspirados por la misma idea genérica), dependiendo del

campo de estudio.

Eventualmente, surgen nuevos conceptos a destacar y, si no cambian las palabras, cambian sus connotaciones. Un ejemplo es el de la palabra homogénea; su etimología, composición de ὁμός (igual, semejante) y γένος (clase, genero), ha inspirado tantas definiciones desde hace tiempo que es difícil saber qué significa sin un contexto: se usa en química,

física y matemáticas, entre otras disciplinas.

En un curso básico de ecuaciones diferenciales, encontramos dos tipos diferentes de ellas llamadas homogéneas. A un tipo de ecuación homogénea lo caracteriza el que el conjunto

de sus soluciones sea un espacio vectorial. Estas ecuaciones se pueden escribir como una combinación lineal de primeras potencias de la incógnita y sus derivadas igualada a cero:

an d n y dxn + an−1 d n−1 y dxn−1 + . . . + a1 dy dx + a0y = 0

en donde los coeficientes ahí

pueden ser funciones de x. Históricamente, esta forma de escribir estas ecuaciones motivo el adjetivo homogéneo, debido a que todos los términos son de primer grado1. El otro tipo de ecuación diferencial homogénea es una clase de ecuaciones de primer orden, que hereda su nombre del ´algebra, al intervenir en su definición una función homogénea. A su vez, a dicha función se le llamó originalmente homogénea para destacar una propiedad de cambio de escala, cuando el factor de escala es el mismo en todas las variables de la función. La importancia de estas ecuaciones diferenciales en un tratamiento introductorio es que se pueden convertir en ecuaciones separables. Estas ecuaciones son el tema de esta nota.

Definiciones y Ejemplos

Definición 1.

Una función f(x, y) se llama homogénea de grado n si f(tx, ty) = t n f(x, y), para cualquier numeró real t.

Por ejemplo, si f(x, y) = x 2 + y 2 , entonces f(tx, ty) = (tx) 2 + (ty) 2 = t 2 (x 2 + y 2 ) = t 2 f(x, y), por lo que f(x, y) es homogénea de grado 2.

De manera similar, se puede ver que p x 2 + y 2 y √ 1 x 2+y 2 definen a funciones homogéneas de grados 1 y −1 respectivamente. Como otro ejemplo, la función g(x, y) = ln(y/x) cumple con: g(tx, ty) = ln  ty tx = ln y x  = t 0 g(x, y), por lo que g(x, y) es homogénea de grado 0.

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