TALLER DE TEORIA DE COLAS 2015 - I.

TALLER DE TEORIA DE COLAS 2015 - I.

1. Una empresa cuenta con 2 máquinas, las cuales se descomponen cada una en promedio cada día con una distribución de tiempos exponencial. Actualmente la compañía cuenta con 2 mecánicos, los cuales tardan 1 día en arreglar cada máquina (con distribución de tiempos exponencial) y trabajan cada uno por separado atendiendo los daños de estas.

1. Halle las probabilidades de estado estacionario.
2. Cuántas máquinas se encontrarán en promedio en el sistema?
3. Si la empresa decide que ambos mecánicos deben trabajar juntos para arreglar una sola máquina, cuál debe ser la tasa a la que arreglen para que el número promedio de máquinas en el sistema siga siendo el mismo?

1. Se encuentra usted en el séptimo día de la segunda guerra mundial apoyando a su honorable ejército de los Estados Unidos de Norteamérica cuando se le asigna la administración del taller de tanques de guerra “El Taller del Tío Sam”; en dicho taller sólo se puede atender un tanque a la vez y sólo hay espacio para el que se atiende y otro tanque que tendrá que esperar; de llegar otro tanque, cuando ya hay dos, deberá irse a otro taller. Los tanques de guerra se componen de dos elementos a los cuales se les hará la reparación en el taller y se sabe que todo tanque que llega al taller tiene sus dos componentes en mal estado; de días anteriores se estima que la llegada de los tanques al taller sigue una distribución Poisson con media de cuatro tanques por hora. El técnico que realiza las reparaciones restaura las dos componentes de cada tanque de manera secuencial, es decir si llega un tanque de guerra el técnico repara su primera componente y luego la segunda sin importar que llegase otro tanque; su hoja de vida nos informa que el tiempo de arreglo de cada componente sigue una distribución exponencial con media 0.5 horas. Actualmente al técnico del taller se le pagan $300 dólares por hora efectivamente trabajada, además se sabe que el taller está disponible 12 horas en el día y se debe pagar un arriendo de $1000 dólares diarios por el espacio para el tanque en espera.

1. El Comandante en jefe de la flota del Atlántico Ernest King le pide que modele esta situación como un proceso de Markov de tiempo continuo con su diagrama de tasas; y le pide calcular el salario diario promedio del técnico.

1. Para aumentar la eficiencia del taller se tiene la oportunidad de comerciar los tanques con los componentes dañados con un mercader llamado Abdel Rahim; él está dispuesto a recibir un tanque con los dos  componentes dañados y cambiarlo por uno nuevo a un módico precio de $42 dólares por tanque, pero dicho cambio sólo se realizaría cuando el taller ya tiene un tanque en reparación, ya que bajo esta política no se arrendaría el espacio de espera y los tanques cambiados por supuesto no entrarían al taller a ser arreglados. El Comandante Ernest King le pide que plantee y resuelva este modelo y diga cuál de las dos políticas minimiza el costo total?

1. El Gobierno Nacional a solicitud del nuevo Ministro de Agricultura y en base a los recientes perjuicios causados a los campesinos del departamento por las fumigaciones aéreas con glifosato, ha dispuesto de unas grandes bodegas que contienen suministros alimenticios básicos para que las familias campesinas se acerquen y puedan recoger por sí mismas los productos necesarios para su consumo. Los productos almacenados en esta bodega se están reabasteciendo continuamente, por lo tanto nunca se escasearán. Se ha estimado que la bodega tiene capacidad para atender hasta 7 familias a la vez y que si llega una familia adicional, ésta deberá irse hacia otra bodega. Además, se ha observado que cada 2 horas llegan en promedio 56 familias a la bodega de acuerdo a un proceso exponencial.

1. Usted ha sido contratado como asesor del Ministro para que le ayude a evaluar y conocer los indicadores de esta política. El Ministro le pide que le plantee el diagrama de tasas para presentárselo al presidente y que además encuentre la tasa a la cual deberán ser atendidas las familias campesinas para que la probabilidad de que una familia no pueda ingresar a la bodega no sea mayor que 0.31. El personal de planeación de abastecimiento y control de la bodega le exige que la tasa de atención en familias/hora debe ser un número entero y no debe ser inferior a 2 familias/hora.
2. El Ministro le solicita adicionalmente que encuentre el número promedio de familias en cola y el tiempo promedio que una familia de campesinos espera en cola. Además, se requiere conocer los costos sociales en los que se incurre al no poder brindar servicio a una familia de campesinos en la bodega, si por cada una  se incurre en una multa social de $15000.

1. Mi perra Canela acaba de tener tres cachorros muy juguetones que saltan dentro y fuera de su canasto que les sirve de cama. Un cachorro pasa promedio de 10 minutos (distribución exponencial) dentro de su canasto antes de saltar hacia afuera. Una vez fuera, el perrito pasa un promedio de 15 minutos (distribución exponencial) antes de regresar a su cama.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que más perritos estén afuera que adentro de su canasto en cualquier momento?

b) ¿Cuántos cachorros estarán afuera del canasto?

1. Con la creciente acometida por parte del virus A-H1N1, la población a nivel mundial sufre la llamada gripa porcina y se ha desarrollado un pánico generalizado acerca del tema; es por esta razón que muchas personas han recurrido a tratamientos alternativos a la medicina tradicional. La bruja Morgana Le Fay lo contrata a usted como analista para que le ayude en su situación. Morgana tiene un centro de curación para infectados con el virus A-H1N1, con capacidad para dos personas, una que se atiende y otra que espera, por lo que los pacientes que llegan cuando su espacio está lleno se deben ir a otro sitio. El proceso consiste en un ritual de iniciación para un posterior ritual de sanación; ella cobra de manera independiente cada ritual; sin embargo no todos los clientes necesitan la ceremonia de iniciación ya que el 70% no se consideran graves y pueden pasar directamente al ritual de sanación y sólo el 30% de los clientes requieren la ceremonia de iniciación antes de la de sanación. Cuando se realiza una ceremonia de iniciación Morgana Le Fay se concentra tanto que cierra las puertas y no recibe a ningún cliente más hasta que termina dicha ceremonia, ya que es muy compleja. Según sus vaticinios Le Fay ha estimado que la llegada de pacientes sigue una distribución Poisson con media cuatro clientes cada hora y el tiempo de duración de la ceremonia de iniciación y de sanación sigue una distribución exponencial con media 1/3 de hora y 0.5 horas respectivamente.

1. Morgana Le Fay debe pagar US$200 diarios por concepto de arriendo de su centro y cobra a cada paciente US$30 por la ceremonia de sanación y US$71 por la de iniciación y desea saber cuál es su utilidad promedio diaria. Para ello le pide elaborar el diagrama de tasas del proceso. Considere que se trabaja 8 horas al día.

1. Le Fay desea saber cuál es el tiempo promedio que debe esperar un cliente en la fila para ser atendido.

1. Un restaurante cuenta con una zona de comidas rápidas. Los clientes que desean comer en esta zona llegan de acuerdo con un proceso poissoniano con una tasa media de 15 clientes por hora. Sin embargo, si la zona de comidas rápidas se está usando mucho, los clientes pueden desistir de comprar. En particular si hay n clientes en la zona de comidas rápidas, la probabilidad de que un cliente que llega desista es n/3 para n=0, 1, 2, 3. El tiempo de servicio en la zona de comidas rápidas tiene una distribución exponencial con media 3 minutos. Cada cliente dejan una utilidad de 5000 pesos.

 a)  Determine el número promedio de clientes en el restaurante.

b) ¿Cuánto dinero deja de recibir el restaurante por hora por aquellos clientes que desisten entrar a la zona de comidas rápidas?

1. El rinconcito del Lleras es un ring reconocido ya que ahí pelea el gran boxeador “El Bote”. Este lugar es especial ya que todos desean vencer a la estrella pero para ingresar deben de pagar $2000. El Bote nunca pierde. Según estudios realizados anteriormente los luchadores llegan a este lugar  según una distribución Poisson con media de 10 luchadores/hora. Sin embargo no todos los luchadores resisten lo mismo; en base a la experiencia se sabe que de los luchadores que llegan el 70% es débil y resisten sólo el primer round,  mientras que el 30% restante es fuerte y resisten hasta un segundo round. Los tiempos de duración  del primero y segundo round se distribuyen exponencial con medias de 0.2 horas y 0.4 horas respectivamente. Dado que el lugar es tan pequeño no hay espacio para que otros luchadores esperen, por lo cual cuando hay un luchador en pelea a los otros que llegan les toca irse a otro lugar. Además los luchadores fuertes corren el riesgo de morir en cualquier momento de la pelea, ya que “El Bote” los golpea más fuerte, según una distribución exponencial con una tasa de 0.8 luchadores/hora y “El Bote” debe pagar una multa de $1500 por cada muerte.

1.  El manager Caur le pide a usted que modele esta situación como un proceso de markov definiendo claramente los estados, el diagrama de tasas y la solución de las ecuaciones de balance. Además se debe calcular la utilidad promedio diaria si se sabe que “El Bote” pelea 6 horas al día.
2. El manager Caur desea explotar mas el talento de su estrella por lo cual logra redistribuir el espacio del lugar, obteniendo un espacio adicional para que un luchador espere. Cuando hay dos luchadores en el lugar el resto deberá de irse a otro lugar. Él le informa esta decisión a “El Bote” el cual acepta pero sólo si el luchador que espera es débil. Se le pide volver a modelar, teniendo en cuenta la información adicional, esta situación como un proceso de markov definiendo  los estados, el diagrama de tasas y plantear las ecuaciones de balance sin resolverlas.

1. Una lavandería tiene 3 lavadoras. Cada máquina se descompone una vez cada medio día. Un mecánico es capaz de reparar una lavadora en un promedio de un cuarto de día. 3 mecánicos están en servicio, por ahora. Cuando hay una lavadora descompuesta un solo mecánico trabaja en ella. Cuando hay más de 1 lavadora descompuesta los tres mecánicos trabajan juntos en una lavadora. El dueño de la lavandería tiene la opción de reemplazarlos por un supertrabajador, que puede reparar una lavadora en un promedio de 1/8 de día. Los salarios se pagan por contrato proporcionales al tiempo trabajado, donde el salario de cada mecánico es de 50000 pesos/día y el salario del supertrabajador es de 90000 pesos/día. Los tiempos de descompostura y los tiempos de servicio son exponenciales.

¿Debe la lavandería reemplazar a los 3 mecánicos por el supertrabajador?

1. El almacén “El rinconcito placentero” es una pequeña empresa familiar que surte artículos de primera necesidad a una población. El gerente y padre de familia lo contrata a usted como analista profesional para que realice un estudio del proyecto. Este almacén tiene espacio sólo para dos cajeros, sin lugar para hacer cola; es por esto que si un cliente llega pero encuentra lleno el almacén, no espera su turno sino que se va hacia otro establecimiento. El gerente le comenta que uno de los cajeros tiene varios años de experiencia y es más rápido para trabajar mientras que el otro cajero es novato; el tiempo de atención de este cajero experimentado sigue una distribución exponencial con media de 8 clientes por hora, el cajero novato tiene un tiempo de atención que sigue una distribución exponencial con media 0.2 horas. Finalmente el gerente del almacén “El rinconcito placentero” le dice que los últimos estudios indican que los clientes llegan de acuerdo a una distribución Poisson con media 10 clientes por hora y escogen aleatoriamente cualquier cajero.

1. El gerente del almacén “El rinconcito placentero” le solicita un informe que consta del problema modelado con un análisis de colas, diagramas de tasas y el resultado de las ecuaciones de balance.
2. Además le solicita que calcule el número promedio de clientes que se pierden al dia.
3. Si los salarios del cajero experimentado y del novato son $100 por cliente y $50 por cliente respectivamente, el gerente le pide calcular los costos salariales de los cajeros en un día. Suponga que se trabaja durante 12 horas diarias.

1. Considere la complicada situación que vive Armijo Catalán, flamante ejecutivo de una compañía. Este personaje recibe consultas de sus empleados (en forma de e-mails) de acuerdo con un proceso de Poisson de tasa media 2 e-mails/hora. La capacidad de la cuenta de Armijo es tal que puede almacenar a lo más 2 e-mails (el que puede estar respondiendo y otro en cola; el resto simplemente rebotará). Armijo responde a cada una estas consultas en un tiempo exponencialmente distribuido de media 12 minutos y lo hará mientras haya consultas sin responder (una a la vez). Cada vez que responde una consulta el e-mail correspondiente se borra. Por otro lado la novia de Armijo lo llama a su celular con el objeto de demandar atención inmediata por parte de él. El tiempo entre llamadas es una variable aleatoria distribuida exponencialmente con media de 40 minutos. Si la llamada se produce cuando Armijo se encuentra con menos de 2 consultas pendientes por contestar (incluyendo la que se encuentra respondiendo si corresponde) entonces, contestará inmediatamente la llamada de su enamorada con la cual pasará un tiempo aleatorio exponencialmente distribuido de media 2 horas y media. Sin embargo si su cuenta de correo está llena no contestará la llamada. Cuando la novia de este personaje lo ha llamado sin recibir respuesta entra en un estado de shock (producto de celos injustificados) y acude instantáneamente al encuentro de Armijo, al cual reta y le hace un escándalo durante un tiempo exponencial de 20 minutos. Durante el altercado de la novia ella ingresa ilícitamente a la cuenta de correo de Armijo y borra todos los e-mails que encuentre. Considere que si el ejecutivo se encuentra en su oficina y está sin mails pendientes y sin hablar con su enamorada se dedica a trabajar en su declaración de impuestos y considere también que el ejecutivo es tan eficiente que es capaz de hablar telefónicamente con su novia mientras continúa respondiendo correos de sus empleados a la misma tasa.

 a) Modele el estado de ocupación de Armijo como una cadena de Markov de tiempo continuo y plantee las ecuaciones de estado estacionario sin resolverlas.  En lo que sigue suponga conocidas las probabilidades estacionarias de la cadena.

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