TRIGONOMETRIA

Matemáticas

1º BACH

TRIGONOMETRIA

1.- MEDIDA DE ÁNGULOS.

− DEFINICIÓN DE ÁNGULO: es la abertura de la región del plano

comprendida por dos rectas secantes que se encuentran en el mismo

plano. El punto de intersección de éstas se llama vértice. En la figura AA’ y

BB’ son dos rectas que se cortan en el plano, O es el vértice,  es el

ángulo y OA’, OB’ son los lados del ángulo.

− DEFINICIONES DE GRADO.

− Es cada una de las 90 partes iguales en que se divide un ángulo recto.

− Es cada una de las 360 partes iguales en que se divide una circunferencia.

− Resulta evidente que un ángulo recto tiene 90º y una circunferencia tiene 360º.

− El grado se puede dividir en partes iguales. Dependiendo del número de partes iguales en que se

divide el grado, los grados pueden ser sexagesimales o decimales (centesimales).

− GRADOS SEXAGESIMALES: cada grado se divide en 60 partes iguales o minutos, y cada minuto se

divide en 60 partes iguales o segundos (1º = 60’ ; 1’ = 60’’) .

− GRADOS DECIMALES: cada grado se divide en décimas, centésimas, milésimas, etc.

− Para pasar grados sexagesimales a decimales:

− Se convierten los segundos a minutos (: 60) y se suman a los minutos del ángulo.

− Se pasan los minutos obtenidos a grados (: 60) y se suman los grados iniciales.

− Para pasar grados decimales a sexagesimales:

− Se separan los grados en parte entera y parte decimal.

− La parte decimal del ángulo se pasa a minutos (60) resultando para los minutos una parte entera

y una parte decimal.

− La parte decimal de los minutos se pasa a segundos (60) resultando para los segundos una

parte entera y una parte decimal.

− Los grados sexagesimales corresponden a la suma de todas las partes enteras.

− Ejemplo. Pasar 12,2765 a grados sexagesimales:

0,2765  60 = 16,59 = 16’ + 0,59’

0,59  60 = 35,4 = 35’’ + 0,4’’

12º 16’ 35’’

− Para pasar grados decimales a sexagesimales con la calculadora, se introduce el grado decimal en la

calculadora y se pulsa la combinación de teclas INV y º ’ ’’  .

− Para pasar nuevamente a grados decimales bastará con pulsar nuevamente º ’ ’’  .

Trigonometría 1

José M. del Toro

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RADIÁN: es el valor del ángulo cuyo arco (medido el ángulo en una circunferencia) vale un radio.

En la figura  mide 1 radián ya que el arco r mide lo mismo que el radio.

− Un radián mide aproximadamente 57º.

− Una circunferencia tiene 2  radianes.

− 360º equivalen a 2  radianes.

− 180º equivalen a  radianes.

2.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.

− Consideremos una circunferencia de radio r y centro en el

origen de coordenadas. Sea un ángulo  cuyo vértice coincide



con el origen de coordenadas y cuyo primer lado coincide con

el eje X (abscisas) positivo.

En el triángulo rectángulo formado se define:

− seno  

proyección de P sobre el eje X ordenada de P cateto opuesto y

=

=

=

= sen 

r

hipotenusa

hipotenusa

hipotenusa

− coseno  

proyección de P sobre el eje Y abscisa de P cateto adyacente x

=

=

=

= cos 

r

hipotenusa

hipotenusa

hipotenusa

− tangente  

cateto opuesto

seno α

y

=

=

= tg 

coseno α cateto adyacente x

− cotangente  

1

1

1

= cotg  ; secante  

= sec  ; cosecante  

= cosec 

tg α

sen α

cos α

3.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.

Consideremos una circunferencia goniométrica (de radio 1),

cuyo centro esté en el origen de coordenadas, y sea un ángulo

positivo  . Según las definiciones anteriores:

sen  =

OQ

PQ

, cos  =

, como OP = r = 1 , se tiene que:

OP

OP

sen  = PQ , cos  = OQ .

Además: tg  =

Trigonometría 2

PQ

. Ahora bien, por semejanza de los

OQ

José M. del Toro

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triángulos OPQ y OST:

PQ ST ST

1

1

OP

=

=

=

=

 tg  = ST . A su vez, cos ec  =

=

OQ OT

sen  PQ / OP PQ

r

por semejanza de los triángulos OPQ y OS’T’ =

sec  =

OS OS

1

1

OP

=

 sec  = OS

=

=

= por semejanza de los triángulos OPQ y OST =

OT

r

cos  OQ / OP PQ

Por último, cot g  =

=

OS ' OS '

=

 cos ec  = OS '

OT '

r

OQ

1

1

=

=

= por semejanza de nuevo de los triángulos OPQ y OS’T’, se tiene

tg  PQ / OQ PQ

S 'T ' S 'T '

=

 cot g  = S ' T '

OT '

r

4.- SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.

Si 0º <  < 90º (  1er cuadrante)

Si 90º <  < 180º (  2º cuadrante)





x e y son [+]  cos  y sen  son [+]

Si 180º <  < 270º (  3er cuadrante)



x e y son [−]  sen  y cos  son [−]

Trigonometría 3

x es [−]  cos  es [−] y es [+]  sen  es [+]

Si 270º <  < 360º (  4º cuadrante)



y es [−]  sen  es [−] x es [+]  cos  es [+]

José M. del Toro

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5.- RELACIONES FUNDAMENTALES DE LA TRIGONOMETRÍA.

Por el teorema de Pitágoras:

y sen  =

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