Teorema Aritmética

Teorema Fundamental de la Aritmética.

Se N = (1,2,3,….) el conjunto de los números naturales. Recordemos que un número natural a divide a otro b si b = ac para algún En este caso se escribe a b y también se dice que b es divisible entre a y que b es múltiplo de a. Para cualquier a se cumple que 1 a, ya que a = 1 . a. La divisibilidad es transitiva es decir que si a c entonces a . También es inmediato que se un número divide a otros dos entonces divide tanto a su suma como a su diferencia.

Si un número natural p > 1 no tiene otros divisores que 1 y p, entonces se dice que es primo. La sucesión de los primeros números primos comienza con 2,3,5,7,11,13,17,23,…. Los números n > 1 que no son primos se llaman compuestos. El 1 es especial; no es ni primo ni compuesto.

Teorema 4.1. (Teorema fundamental de la aritmética)

Cualquier número natural n > 1 se puede expresar como un producto de números primos y de manera única excepto por el orden de los factores. En símbolos:

n= p1 a1 p2 a2 …pk ak

donde p1 < p2 < … < pk son números primos y los exponentes a1,a2 …ak son números naturales

Si n se expresa en la forma anterior entonces sus divisores son todos los números de la forma P1 b1 P2b2… Pk bk donde 0 . Por ejemplos los divisores de 24 = 23 . 31 son 2o . 3o = 1.21 .3o = 2, 22 . 3o = 4, 23 . 3o = 8, 2o . 31 = 3, 21 . 31 = 6, 22 . 31= 12 y 23 . 31 = 24.

Una consecuencia de lo anterior es que el número de divisores del número n = P1 a1 P2 a2 … Pk ak es

(a1 + 1) (a2 + 1) …(ak + 1).

En efecto para formar un divisor el exponente de p1 puede escogerse de a1 + 1 maneras a saber 0, 1, 2, … a1. De la misma manera, el exponente de p2 puede escogerse de a2 + 1 maneras y así sucesivamente hasta el exponente pk que puede escogerse de ak + 1 maneras.

Otra consecuencia del Teorema Fundamental es que un número natural es un cuadrado perfecto si y sólo si todos sus factores primos diferentes aparecen elevados a exponentes pares. Más en general, un número natural es una potencia k-simo si y sólo si todos sus factores primos diferentes aparecen elevados a exponentes múltiplos de k.

El máximo común divisor de dos números naturales a y b es el mayor de sus divisores comunes y se denota mcd(a,b). el mcd tiene las siguientes propiedades:

Mcd (a,b) = mcd (b,a)

Mcd (a,b) = a si y sólo si a b,

Mcd (a

, na + b) = mcd (a, b)

Si se conoce la disposición en producto de factores primos de a y de b, entonces es muy fácil calcular mcd(a,b); es igual al producto de los factores primos comunes elevados al menor de los exponentes con que aparecen en las descomposiciones de a y de b. De aquí se deduce que mcd(a,b) no sólo es el

mayor divisor común sino que además cualquier otro divisor común de a y b divide a mc (a,b).

El mínimo común múltiplo de a y b es el menor de sus múltiplos comunes y se denota mcm(a,b).El mcm (a,b) es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor de los exponentes con que aparecen en a y b. De aquí se deduce que mcm(a,b) no sólo es el menor múltiplo común sino que además divide a cualquier otro múltiplo común de a

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