Teorema De Reynolds

Teorema de Reynolds.

El teorema del transporte de Reynolds es una expresión matemática muy útil que relaciona la derivada Lagrangiana de una integral de volumen de un sistema, con una integral en derivadas Eulerianas. Y tiene grandes usos en la mecánica de medios continuos. En su aplicación a este campo, relaciona cómo varían las propiedades de una masa de control con cómo varían las propiedades de un volumen de control.

Masa de control.

Es una cierta cantidad de material a la que hacemos un seguimiento. Por lo tanto, una masa de control es un objeto físico igual que lo es una pelota, pero puede ser difícil distinguir una masa de control de su vecina (por ejemplo, es difícil distinguir una masa de agua de otra en medio del océano).

Volumen de control.

Es un volumen al que hacemos un seguimiento. Las masas de control pueden atravesar un volumen de control. Los volúmenes de control son entidades geométricas que definimos aparte de los objetos físicos: por ejemplo, el interior de una caja es un volumen de control cuyo contenido, las masas de control que tiene dentro, puede variar con el tiempo.El volumen de control está limitado por una superficie cerrada, superficie de control, a través de la cual se realizan los procesos de intercambio de energía y masa con el entorno.

Masa de control. Es un volumen de material en movimiento.

Volumen de control. Es virtual y el material lo atraviesa.

En general, el teorema del transporte de Reynolds relaciona el ritmo de variación en un dominio móvil (el de la masa de control) y un dominio fijo (el del volumen de control) o incluso entre varios volúmenes móviles. Es una generalización a dimensiones múltiples de la regla de Leibniz.

La expresión general de este teorema es:

Por qué usamos masas de control y volúmenes de control

A menudo, conocemos las leyes físicas que afectan a los objetos como las masas de control, pero poner en práctica este conocimiento puede ser muy engorroso. Por ejemplo, las ecuaciones del movimiento de una masa de control de aire (las leyes de Newton y de conservación de la energía), aunque son conceptualmente muy sencillas, se vuelven muy difíciles de integrar porque la masa de control puede desplazarse mucho y acabar en cualquier parte. Como las ecuaciones del movimiento dependen de las masas de aire del entorno (lo hacen a través de la presión y los esfuerzos viscosos, por ejemplo) y estas masas de aire pueden cambiar mucho a cada momento, no es de extrañar que la tarea de calcular el comportamiento del aire (o el medio que sea) pueda volverse algo formidable con esta formulación.

Las partículas vecinas de una masa de control pueden venir de cualquier lugar y son muy difíciles de seguir.

Ahora imaginemos un volumen cualquiera, fijo o con un movimiento cómodo de manejar. Este volumen es un volumen de control y las masas de control pueden, en general, atravesarlo. Si pudiéramos referir las ecuaciones del movimiento no a las masas de control, sino al volumen de control, nuestros problemas quizá se volverían más fáciles de tratar. El teorema del transporte de Reynolds hace esto.

Propiedades extensivas y propiedades intensivas.

Tomemos una masa de control cualquiera. En un instante de tiempo t, la masa de control tiene unas propiedades (cantidad de movimiento, masa, energía interna…). Diremos que estas propiedades son Cm(t). Ahora bien, la masa de control ocupa un cierto volumen Vm(t). Podemos suponer que la propiedadC(t), que llamaremos extensiva, es la suma de una propiedad intensiva c(t,x)distribuida por los puntos x del espacio ocupado por la masa de control:

Cm(t) = ∫∫∫Vm(t) c(t,x) dV.

En la anterior integral, el símbolo dV indica el elemento diferencial de volumen.

Ritmo de variación de las propiedades de una masa de control

Las masas de control son objetos físicos normales y corrientes como pelotas, bolígrafos y gotas de agua. Sus propiedades Cm(t) tienen un ritmo de variación con el tiempo t que es igual a un término forzante o fuente (la fuerza para la cantidad de movimiento, por ejemplo) F: dCm ⁄ dt = F.

Aunque no hemos escrito explícitamente las dependencias funcionales, el término forzante F variará, en general, con el tiempo, la región del espacio ocupada por la masa de control y la distribución de las variables físicas en el espacio y el tiempo. Esta distribución de las variables físicas estará determinada por cómo se hayan movido las masas de control, así que el seguimiento se vuelve muy poco práctico.

Ahora, supongamos que tenemos un volumen de control fijo V que en el preciso instante t coincide con el volumen Vm(t) ocupado por la masa de control:

V = Vm(t).

La frontera del volumen de control es la superficie S.

Podemos integrar las variables intensivas c(t,x) en este volumen para obtener las variables extensivas Cv(t) correspondientes:

Cv(t) = ∫∫∫V c(t,x) dV.

Un cortísimo instante más tarde, en el tiempo t+dt, los dos volúmenes no tienen por qué coincidir. Por lo tanto, el ritmo de variación de las variables extensivas en el volumen de control no tiene por qué coincidir con el ritmo de variación de las variables extensivas en la masa de control. Ahora bien, podemos relacionarlos.

Cada punto x de la frontera de la masa de control se desplaza a una velocidadv(t,x). La dirección normal (hacia el exterior) a la frontera del volumen de control es el vector unitario n(x). Por lo tanto, la velocidad normal vn(x) a la que se separa la frontera de la masa de control de la del volumen de control es:

vn(t,x) = v(t,x) ⋅ n(x).

La frontera de la masa de control entra dentro del volumen de control cuando la anterior expresión es negativa y sale cuando es positiva.

Velocidad normal a la frontera.

Cierta parte de la masa de control sale del volumen de control, mientras que otra parte entra. Fijémonos en un punto x de la frontera del volumen de control. Definamos un elemento diferencial de superficie de frontera dS alrededor de este punto. Como el incremento de tiempo dt es extremadamente pequeño, podemos despreciar cualquier variación de la velocidad v(t,x) a la que se desplaza la frontera de la masa de control entre el instante t y el instante t+dt. En este tiempo, habrá entrado dentro del volumen de control una pequeña cantidad de material de volumen −vn(x) dt dS.

El signo negativo se debe a que, si la velocidad relativa es negativa, el material entra, mientras que, si la velocidad relativa es positiva, el material sale. Esta pequeña cantidad de material que entra o sale lleva consigo cierta cantidad extensiva de propiedades físicas:

−vn(x) dt

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