Teorema de Bayes

5.8        TEOREMA DE BAYES

Hasta ahora se ha concentrado la atención en la predicción de la probabilidad de ocurrencia de ciertos eventos al realizar un experimento. De esta manera, se evalúa el efecto del experimento, o sea, que mediante una causa se medían sus posibles resultados o efectos.

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Suponga que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos qué tiempo hizo. El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades.

El teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el concepto de probabilidad condicional. Tratar de explicar estar fórmula con palabras puede prestarse a una verdadera confusión, así que vamos a intentar explicarla con un ejemplo. 

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Tres máquinas “A”, “B” y “C”, fabrican el mismo artículo. “A” produce el 50%, “B” el 40% y “C” el 10%. La probabilidad de que la máquina “A” produzca defectuosos es del 1%, la máquina “B” es del 0.5% y la máquina “C” es del 2%. Si se selecciona un producto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?

Solución

Sean los eventos:

E1 : el artículo lo produce la máquina “A”.

E2 : el artículo lo produce la máquina “B”.

E3 : el artículo lo produce la máquina “C”.

E: el artículo sea defectuoso.

Para obtener el espacio muestral, Se recurre al diagrama de árbol, del cual se generan seis casos posibles.

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Figura 5.30

Finalmente, la probabilidad de que sea defectuoso está dada por:

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Ahora supongamos que se sabe que un producto fue inspeccionado y resultó defectuoso. O sea, se conoce su efecto y se desea evaluar su posible causa.

Para evaluar esa nueva condición, se formula la siguiente pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que hubiera sido fabricado por la máquina “A”, “B” o “C”?

Este ejemplo se puede ilustrar a través del siguiente diagrama de Venn en donde se presentan las tres causas probables.[pic 8]

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Figura 5.31

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Luego se tiene que:

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Dado que el producto defectuoso debe provenir de alguna de las tres máquinas, se puede comprobar que la suma de las probabilidades de que provengan de alguna de estas es del 100%.

El método puede generalizarse como se muestra en el siguiente diagrama de Venn:

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Figura 5.32

Los sucesos E1 hasta En son mutuamente excluyentes y su reunión constituye el espacio muestral.

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Suponga que el suceso “E” se ha realizado, en estas condiciones se puede  obtener las probabilidades de que dicho suceso provenga de E1, E2, … , En. O sea,

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en donde

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Así se tiene que

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Denominado Teorema de Bayes en honor al reverendo Tomás Bayes su creador en Inglaterra durante el siglo XVIII. Cabe indicar, que en 1763 se publicó póstumamente Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances, donde el reverendo Bayes abordó el problema de las causas a través de los efectos observados, y donde se enuncia el teorema que lleva su nombre. Este trabajo resulta ser la base para la técnica estadística conocida como estadística bayesiana, que se utiliza para calcular la probabilidad de la validez de una proposición tomando como bases la estimación de la probabilidad previa y las evidencias relevantes más recientes.

Las técnicas de Bayes permiten abordar en forma diferente el área de "toma de decisiones", formulándola en términos de pérdidas o ganancias económicas y no en términos de la probabilidad de tomar la decisión correcta. Así, por ejemplo, tomar una o dos decisiones que pudieran ser incorrectas puede ser benéfico en términos económicos.

Es importante conocer, que las probabilidades que manejamos antes de conocer el hecho de que un evento haya ocurrido, se denominan "probabilidades a priori". Por ejemplo, evaluar la probabilidad de que llueva.

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