Teorema de Tchebyseff

Teorema de Tchebyseff; La Regla Empírica

En el tema de varianza se mostraron ejemplos para mostrar como la desviación estándar mide la variación de una distribución de probabilidad, es decir, como registra la concentración de probabilidad en la vecindad de la media. “Si ợ es grande, hay una gran probabilidad de obtener valores alejados de la media”.

Esta idea se expresa en el siguiente teorema:

“Si una distribución de probabilidades tiene media μ y la desviación estándar ợ, la probabilidad de obtener un valor que se desvié de la media una cantidad mayor que K veces la desviación estándar, es menor que 1/k2 . Simbólicamente:

p(|x- μ)|>kợ) < 1/k2

Para obtener otra forma de la desigualdad de chebychev, nótese que el suceso |x- μ|≤kợ es el complemento del suceso |x- μ|>kợ; luego,

p(|x- μ)|≤kợ) >1- 1/k2

Que establece que la probabilidad de obtener un valor dentro del intervalo limitado por k veces la desviación estándar a partir de la media en uno y otro sentido es mayor que 1-1/k2 .

Ejemplo:

• Tener a mano un suministro adecuado de refacciones es función importante del almacen de una gran empresa electrónica. Se estudió la demanda mensual de tarjetas para impresoras de microcomputadoras durante algunos meses y se vio que el promedio o media es 28 y la desviación estándar ¿Cuántas tarjetas de impresora deben tener a la mano al principio de cada mes para asegurar que la demanda sea mayor que la oferta cuando mucho con una probabilidad de 0.10?

Solución:

Sea X la variable aleatoria que representa la demanda.

Utilizando el teorema con k=√10 se tiene:

P(X-μ ≥ kợ) ≤ P(|X-μ| ≥ kợ) ≤ 1/k2 = 1/(√10)2 = 0.1

Es decir:

P(X-28 ≥ √10(4)) ≤ 0.1

P (X ≥ 40.65) ≤ 0.1

Por lo que deben de existir 41 tarjetas de impresora en el inventario.

• Una variable aleatoria X tiene una media μ =12, con una variancia ợ2 =9, y una distribución de probabilidades conocida. Utilizando el teorema obtener:

o P(6 < X < 18)

o P(3 < X < 21)

Solución:

P(6 < X < 18) = P[12-2(3) < X < 12+2(3)] ≥ 3/4

P(3 < X < 21) = P[12-3(3) < X < 12+3(3)] ≥ 8/9

Conclusión

Desde el punto de vista teórico, la característica más importante del teorema de Chebyshev es que se aplica a cualquier distribución de probabilidad para la que existan μ y ợ. En lo que respecta a las aplicaciones, sin embargo esta generalidad es su mayor defecto, ya que solo da una cola superior (lo que, en general, es una información pobre) de la probabilidad de obtener un valor que se desvié de la media más que de k, la desviación estándar.

Análisis combinatorio

Los teoremas del análisis combinatorio son la base del cálculo de la probabilidad.

El origen del análisis combinatorio se atribuye a los trabajos de Pascal y Fernant que fundamentan el cálculo de probabilidades.

El objeto del análisis combinatorio es el estudio de las distintas ordenaciones que pueden formularse con los elementos de un conjunto, de los distintos grupos que pueden formarse con aquellos elementos y de las relaciones entre unos y otros grupos.

Principios fundamentales

En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio hay una operación que se repite varias veces y es necesario conocer las distintas formas en que se puede resolver dicha operación. Para resolverla, se pueden utilizar los principios fundamentales que se mencionan a continuación.

● Principio de multiplicación

Si un evento A1 puede realizarse de n formas distintas y un segundo evento A2 puede realizarse de m formas diferentes, entonces el total de formas en que puede efectuarse el primer evento seguido del segundo es el producto

Ejemplo:

1) Considerando tres conjuntos de letras que llamamos conjuntos I, II, y III

I = { a, m, r }

II = { b, d, i, l, u }

III = { c, e, n, t }

Determinar el número de conjuntos de 3 letras que pueden ser creados, tales que una letra sea de I, una de II y la otra de III.

Solución:

De I podemos elegir una letra de 3 maneras, de II podemos elegir una de 5 maneras y de III podemos elegir una de 4 maneras, entonces podemos elegir una letra de cada conjunto de 60 maneras.

2) Un matrimonio quiere comprar un estéreo y una televisión. Si en el lugar en donde realizarán la compra hay 4 diferentes modelos de estéreos y 2 diferentes modelos de televisión, ¿De cuántas maneras distintas pueden realizar la compra de ambos objetos a la vez?

Solución

Puede realizar la compra de 8 distintas maneras, ya que se multiplican los 4 diferentes modelos de estéreo por los 2 de televisión.

3) Un experimento consiste en lanzar dos dados y observar las caras que quedan hacia arriba. El primer dado puede caer de 6 maneras diferentes (1, 2, 3, 4, 5, 6) y el segundo dado también puede caer de 6 maneras diferentes, ¿Cuántas maneras hay de que caigan ambos dados simultáneamente?

Solución

El número de maneras en que pueden caer ambos dados simultáneamente es 36, ya que se multiplican las 6 maneras diferentes en que cae el primer dado por las 6 del segundo.

● Principio de adición

Si un evento A1 puede realizarse de n formas distintas y un segundo evento A2 puede efectuarse de m formas distintas pero no es posible que ambos eventos se realicen a la misma vez, entonces el evento A o el B se realizarán de la siguiente manera:

Ejemplo:

1) Consideremos tres conjuntos de letras que llamamos conjuntos I, II, y III

I = { a, m, r }

II = { b, d, i, l, u }

III = { c, e, n, t }

¿Cuántos modos hay para elegir una letra de los conjuntos I, II y III? Se toma en cuenta que estos tres conjuntos son disjuntos o mutuamente excluyentes, o sea que no hay elementos en común entre ellos.

Solución:

Para elegir una letra del conjunto I hay 3 maneras, para elegir una letra del conjunto II hay 5 maneras y para elegir una letra del conjunto III hay 4 maneras. Entonces, para elegir una letra de entre los 3 conjuntos hay 12 maneras.

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