Teoria de conjuntos

Teoría de conjuntos

Para comenzar con la investigación explicare que es la teoría de conjuntos, para ello Westreicher (2021) lo definio como: “La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas (y de la lógica) que se dedica a estudiar las características de los conjuntos y las operaciones que pueden efectuarse entre ellos.”

En otras palabras, esto quiere decir que está es una rama de la matematica y la logica enfocada especificamente a los conjuntos, es por ello que, se encarga de analizar sus caracteristicas, las operaciones y relaciones que pueden formar entre ellos mismos.

¿Qué es un conjunto?

“Un conjunto es la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí características y propiedades semejantes”. (Equipo editorial, 2021)

Entonces, los conjuntos son agrupaciones que poseen elementos similares, no obstante al momento de contruirlos podemos encontrarnos con sus diferentes categorias:

Tipos de conjuntos

• Conjuntos finitos: Sus elementos pueden contarse en su totalidad.

Por ejemplo: A={x|x Los dias de la semana}

• Conjunto infinito: Sus elementos no se pueden contar en su totalidad, debido a que no tienen fin.

Por ejemplo: B={x|x Todos los números naturales}

• Conjunto unitario: Está compuesto por un único elemento.

Por ejemplo: C={x|x Es el satélite natural de la tierra}

• Conjunto vacío: Es aquel conjunto en donde no puede encontrarse presencia de elemento alguno y es único. Se donta con el simbolo .

Por ejemplo: D={x|x La cantidad de puntos de intersección de dos paralelas}

• Conjunto universo: Este es aquel conjunto donde a partir de él nacen los elementos de los demas conjuntos, que los conocemos como: subconjuntos, por lo tanto, el conjunto universo lo abarca todo. Siempre se representa con la letra U.

Por ejemplo: U={1,2,3,4} A={1,2} B={3,4}

Universo Subconjuntos del universo

• Subconjunto: Es la porción de elementos que ha sido extraída de otro conjunto. Se denota de la siguiente forma: AU

• Conjunto potencia: Es aquel conjunto que esta formado por todos los subconjuntos posibles de un conjunto x. Su formula es 2n: donde n es la cantidad de elementos del conjunto, asimismo,su base es 2 porque se fundamenta en el sistema binario.

Por ejemplo: A={1,2,3} A 23= {{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},{}}

Fuente elaboración propia (2023)

Notacion de un conjunto

• Conjuntos por comprensión: Un conjunto está determinado por comprensión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos. Por ejemplo: A={x|x es una letra del abecedario}

• Conjuntos por extensión: Son todos aquellos conjuntos que se escriben uno a uno todos sus elementos si es un conjunto finito, de modo contrario, si es un conjunto infinito solo se escriben algunos elementos y se colocan puntos suspensivos.

Por ejemplo: Números mayores de 0 y menores de 5  B= {1,2,3,4} (Conjunto finito)

Números mayores de 1  C= {1,2,3,4,5,6,7,8…} (Conjunto infinito)

(Sangaku S.L, 2023)

Operaciones entre conjuntos

Para el álgebra de conjuntos tenemos las siguientes operaciones: Unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica, complemento y producto cartesiano.

Unión: Es un conjunto formado por todos los elementos comunes y no comunes entre 2 o más conjuntos. Es importante recalcar que al momento de unir los elementos repetidos solo se colocan UNA VEZ porque se convierten en 1 solo, pero al momento de disolver la unión cada elemento regresa a su posición original.

Ejemplo: A= {1,2,4,6,7} B= {1,2,8,9}

AUB= {1,2,4,6,7,8,9}

Intersección:

Es la agrupación de los elementos comunes o repetidos en ambos conjuntos, solo se escriben 1 vez.

Ejemplo: A= {1,2,4,6,7} B= {1,2,8,9}

AB= {1,2}

Diferencia: Es quitarle al conjunto “A” los elementos que tiene en común con el conjunto “B”

Ejemplo: A= {1,2,4,6,7} B= {1,2,8,9}

A-B= {4,7,6}

Diferencia simétrica: es eliminar los elementos en común que tienen los conjuntos, para que queden únicamente con sus elementos propios.

Ejemplo: A= {1,2,4,6,7} B= {1,2,8,9}

AΔB= {4,7,6,8,9}

Fuente: Elaboración propia (2023)

Complemento: Sea A un subconjunto de un conjunto universal U. El complemento de A (en U) es el conjunto A’ de los elementos de U que no pertenecen a A. (Gómez, 2018)

A’= {1,3,5,7}

Imagen 1.1 complemento de un conjunto por (Gómez, 2018)

Leyes de algebra de conjuntos

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