TEORÍA DE CONJUNTOS

TEMA:

TEORÍA DE CONJUNTOS.

Introducción

La teoría de conjuntos es una parte de las matemáticas que tiene un objeto de estudio propio; con métodos propios, con ciertas relaciones con otras teorías matemáticas, en particular, con todas las teorías matemáticas tradicionales y a partir de sus principios se mantiene la existencia, estructura y relaciones mutuas entre ellos.

Concepto de conjunto

Se llama conjunto a toda agrupación, colección o reunión de individuos (cosas, animales, personas o números) bien definidos que cumplen una propiedad determinada.

A los objetos del conjunto se denominan “elementos del conjunto”.

• Ejemplo de conjuntos
  La colección de letras de la palabra “murciélago”.
• La agrupación de números naturales menores que

Notación de conjuntos

[pic 1]

Ejemplo: Utilice la notación correcta para escribir los conjuntos dados en el ejemplo anterior.

             A= La colección de letras de la palabra “murciélago”

           B= La agrupación de números naturales menores que

Determinación de conjuntos

La determinación (valor) de un conjunto corresponde a la manera como éste puede expresarse. Para determinar un conjunto se utilizan dos formas: determinación por extensión y la determinación por comprensión.

Determinación de conjuntos por extensión

Un conjunto se determina por extensión cuando se enumeran o se nombran los elementos del conjunto.

Ejemplo: Determine por extensión los conjuntos del ejemplo anterior.

A= {m, u, r, c, i, e, l, a, g, o}

B= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Determinación de conjuntos por comprensión.

Un conjunto se determina por comprensión enunciando la propiedad o cualidad que distingue a los elementos. Para tal fin se utiliza lo siguiente:
{x/x cumple la propiedad},
que se lee: el conjunto de las x tal que x cumple la propiedad

Ejemplo: Determine por comprensión los conjuntos del ejemplo anterior.

A= {x/ x es una letra de la palabra “murciélago”}

B= {x/ x es un número natural menor que 10}

Cardinal de un conjunto.

¿Cuál es el cardinal de un conjunto?

Un número cardinal o cardinal es una generalización de los números naturales para contar el número de elementos, la cardinalidad, de cualquier conjunto, finito o infinito. El cardinal de un conjunto finito es un número natural ordinario.

[pic 2]

Proyectar video de YouTube.

1. https://www.youtube.com/watch?v=NHpQ-3fPKOc

Cardinalidad de conjuntos

1. https://www.youtube.com/watch?v=EnEUwRc4j3A

Problemas de cardinalidad de 3 conjuntos - Logos Academy

Clases de conjuntos.

1. Conjunto unitario.

El conjunto unitario es aquel solamente tiene un elemento.

Ejemplo:

1. A= {x/x es un pontífice entre los años 1985 y 2005} = {Juan Pablo II}
2. B= {x∈N / x2–4=0} = {2} son unitarios.
3. El presidente actual
4. G = {0}
5. R = {a  /3<a<5}[pic 3][pic 4]

1. Conjunto vacío.

Existe un conjunto especial denominado “conjunto vacío” o “conjunto nulo” y algunos definen como un conjunto sin elementos.

[pic 5]

Ejemplo

1. A = {Un hombre con 3 ojos}
2. G = {  }

1. Conjunto universal.

Es el conjunto que contiene, comprende o dentro del cual están todos los demás conjuntos., y se le simboliza U.

Ejemplo:

E = {mujeres} F = {hombres}

El conjunto que incluirá a los conjuntos E y F, que sería el conjunto U:

U = {seres humanos}

Otro ejemplo:
Sean los conjuntos:
A = {aves} B = {peces} C = {gatos} D = {perros}

Uniendo los tres conjuntos A, B, C y D resulta el conjunto U.

U = {animales}

Gráficamente se puede representar por un rectángulo tal como podemos ver a continuación.

[pic 6]

1. Conjunto finito.

Es aquel conjunto cuya cantidad de elemento se puede contar; es decir, es aquel conjunto en que sus elementos se pueden nombrar o enumerar. 

Ejemplo: 

A= {x/x es un número entero mayor o igual que -3 y menor que 5}. Este conjunto está formado por 8 elementos.

En efecto, A= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4}

Otros ejemplos.

A = {números entre 1 y 10}

B = {hojas del cuaderno}.

G = {el número de dedos}

1. Conjunto infinito.

Es aquel conjunto cuya cantidad de elemento no se puede contar; es decir, es aquel conjunto en que sus elementos no se pueden nombrar o enumerar.

Ejemplos :

[pic 7]

Ejemplo:

1.  Los puntos de una recta
2. Números enteros > 100

1. Conjunto potencia.

Un conjunto potencia es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto

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Relaciones entre conjuntos,

Inclusión (). - cuando todos los elementos del primero forman parte del segundo conjunto, [pic 9]

¿Qué es la inclusión de conjuntos?

Inclusión de conjuntos: Se dice que el conjunto A es parte del conjunto B o que está incluido en B, si todos los elementos de A están en B. Se le denota como “A B” que se lee: “A incluido en B”. ... En estos dos conjuntos podemos notar que todos los elementos de A pertenecen también a B.[pic 10]

Ejemplo de inclusión.

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ejemplos.

A = {todos los gatos}

B = {todos los mamíferos}

D = {1, 2, 3}  ;   G = {0, 2, 4, 6}

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Propiedades

1) Reflexiva.- para todo conjunto A se cumple que todo conjunto está incluido a sí mismo (Satupled, 2009).

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