Trabajo modelos matemáticos

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Docente:

Grado académico + nombre de la persona

TÍTULO DEL TRABAJO

Autor(es/as):

Nombre(s) de la persona(s)

Managua, Nicaragua

Mes, año

Introducción

Los modelos de crecimiento exponencial aplican para cualquier situación donde el crecimiento es proporcional al tamaño actual de la cantidad de interés. ... donde C es la cantidad inicial o número, r es la tasa de crecimiento (por ejemplo, una tasa de crecimiento del 2% significa r = 0.02), y t es el tiempo transcurrido. Una función exponencial es una función que se representa con la ecuación f(x) = aˣ, en la cual la variable independiente (x) es un exponente. Aunque la función exponencial por excelencia en Matemáticas es (siendo e=2.718281...), tal es así que a esta función se la suele expresar abreviadamente como exp(x), llamándola a secas "la exponencial de x". Por otra parte, el valor presente de una inversión es cuando calculamos el valor actual que tendrá una determinada cantidad que recibiremos o pagaremos en un futuro, en el periodo acordado. El valor futuro es el valor alcanzado por un determinado capital al final del período determinado.

Objetivos

• Conocer la importancia del modelo exponencial en el desarrollo empresarial
• Aprender y analizar proyecciones de ventas y el valor que se les da a los productos.

1. (Demanda) Un fabricante estima que cuando se producen x unidades de cierto artículo, el precio de mercado P (dólares por unidad) está dado por la función demanda 𝑃=300𝑒−0.02𝑥   

a) ¿Qué precio de mercado corresponde a la producción de x= 100 unidades?

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b) Determine la función ingresos.  [pic 4]

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c) ¿Cuánto ingreso obtiene cuando se producen 100 unidades del artículo?

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 d) ¿Cuál es el valor de ingreso por ventas y el precio fijado cuando se producen x=50 unidades de un artículo?   [pic 7]

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 2. La población de Nicaragua para el año 2014 era de 5,800,000. Si la tasa de crecimiento es de 1.2% anualmente, determine los siguientes acápites

1. Calcule la población para el año 2020, 2040 y 2050. Además, proceda a realizar la gráfica, tomando en cuenta la tabla de valores proyectados desde el año 2014 al 2050

Po = 5,800,000

Tc = 1.2%

Año 0 = 2014

Año 6 = 2020

Año 26 = 2040

Año 36 = 2050

• 2020

P (6) = 5,800,000 * (1.012)6

P (6) = 6,230,330.

En el año 2020, la población crecerá exponencialmente a 6,230,330 personas

• 2040

P (26) = 5,800,000 * (1.012)26

P (26) = 7,908,995

En el año 2040, la población crecerá exponencialmente a 7,908,995 personas

• 2050

P (36) = 5,800,000 * (1.012)36

P (36) = 8,911,000

En el año 2050, la población crecerá exponencialmente a 8,911,000 personas

b) Dicha gráfica debe ser estéticamente bien definida y acotada para el rango de valores establecidos. En ella deberán incorporar títulos a los ejes, títulos de gráficos y etiquetas únicamente para los años proyectados (2020, 2040 y 2050)

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3. Una máquina se compró nueva hace 8 años y ha venido depreciándose exponencialmente. Al año comprada valía $43,800, y hace 2 años se valoró en $37,250. Encuentre una fórmula que dé su valor en miles de dólares, como función de su edad en años. ¿Cuánto costó nueva?, ¿Cuál ha sido la tasa de depreciación anual?, y ¿Cuánto vale ahora?

V(t) = abt

V (1) = ab1 = $43,800

V (6) = ab6 = $37,250[pic 12]

• ab1 = $43,800
• ab6 = $37,250

b-5 = 1.17583893

(b-5)-1/5 = (1.17583893)-1/5

b = 0.96812277

• b = 1 + r
• 0.9681227 = 1+r
• 0.9681227 – 1 = r
• R = -0.03187723

Por tanto, la tasa de depreciación anual de la máquina es de -0.03187723

V (1) = $43800

$43800 = a * (0.9681277)1

$43800/0.9681277 = a

a = $45242.20

Por tanto, el valor por el que se compró la máquina fue $45242.20 dólares.

La fórmula que da su valor en miles de dólares, como función de su edad en años sería:

V (t) = $45242.20 * (0.9681277) t 

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